Jak Euler vyřešil jednu matematickou záhadu

Mezi nekonečnými řadami zaujímají významné postavení dvě řady:

Vypadají docela podobně, ale z hlediska matematické struktury se zásadně liší, ta první, tzv. harmonická řada nemá konečný součet, tedy diverguje. Ta druhá má, jak ukáži později, konečný součet. Divergenci harmonické řady jako první dokázal francouzský matematik a filosof Nicole Oresme (1323-1382). Jeho postup byl geniálně jednoduchý, všiml, že součet třetího a čtvrtého členu je větší nebo roven 1/2, a stejná nerovnost platí dále pro další 4 členy (1/5,...1/8), a pak pro následujících 16 členů od 1/9 do 1/32, a tak pořád dál. Viz schéma:

Ukázal tedy, že součet harmonické řady je větší nebo roven nekonečnému součtu řady samých polovin, a protože nekonečná řada samých 1/2 je divergentní musí být divergentní i samotná harmonická řada. V roce 1735 ve svých dvaceti osmi letech vyřešil Leonhard Euler (1707-1783) problém, který úspěšně odolával mnoha pokusům o jeho vyřešení. Jednalo se o otázku konvergence nekonečné řady ∑ 1/n² . Motivace pro vyřešení tohoto problému byla velmi velká - pokud by tato řada konvergovala pak rovněž všechny řady

konvergovaly. Euler použil na vyřešení tohoto problému na tehdejší velmi důmyslnou metodu. V podstatě učinil předpoklad, že vlastnosti, které mají konečné polynomy mohou splňovat i nekonečné řady. Na začátku jeho úvah stála funkce sinus, použil v tehdejší době již známý vztah pro tuto funkci:

Tento vztah se nazývá Taylorův rozvoj funkce sinus. Podělil dále tuto rovnici funkcí x:

Tato funkce má kořeny (taková x, že (sin x) / x =0) v bodech x=n·π, kde n=±1,±2,±3,... . Pravá strana ve výše uvedené rovnici představuje v podstatě polynom, a každý polynom lze vyjádřit v součinovém tvaru jeho kořenů (součin ireducibilních faktorů), proto dostáváme po této úvaze následující vztah

, kde se také využil od základní školy všem jistě známý vzoreček (A-B)(A+B)=A²-B². Teď si musíme dát tu práci - provést naznačené násobení a hledat koeficienty u x² . Zjistíme, že pro výsledný koeficient u x² platí:

Ale funkce (sin x)/x má ve svém základním vyjádření koeficient u x² roven -1/3!, tedy -1/6. Tato dvě vyjádření vztahu pro koeficient u x² se musí sobě rovnat, Tedy

Z tohoto finálního vztahu vyplývá nádherný vzorec

a navíc i konvergence všech nekonečný řad (viz srovnávací kritérium) ∑ 1/n^s , kde s ≥ 2.