neděle, dubna 26, 2009

Hyperbolické funkce a jejich využití v architektuře

Mezi největší architektonické skvosty USA patří podle mého názoru Gateway Arch v St. Louis, Missouri. Tato stavba je příkladem využití matematiky v praxi. Myšlenka na postavení památníku osídlování Amerického západu1 vznikla v roce 1933 v myšlénkách Luthera Ely Smitha veřejného činitele ze St. Louis. Trvalo 14 let než došlo k vypsání architektonické soutěže na tento monument. Soutěž nakonec vyhrál architekt finského původu Eero Saarinen v roce 1947. Jeho vítězný návrh představoval zužující se oblouk ve tvaru křivky řetězovky. Jednalo se však o technologicky velmi složitý projekt, a tak i kvůli válce v Koreji (chybějící finanční prostředky) byl projekt dokončet až v roce 1965.

Stavba je vysoká 192 m a v nejširším místě 192 m široká. Průřez má tvar trojúhelníku, o délce stran 16,5 m u paty a 5,2 m ve vrcholu oblouku. V konstrukci stěn byla použita kombinace železobetonové skořepiny a karbonové ocelové konstrukce. Ve vnitřku konstrukce se nachází transportním systémem, který přepravuje návštěvníky na vrchol, kde se nachází vyhlídková plošina.

Do roku 1968 se bylo možno dopravit na vrchol jedině pomocí více než tisíce schodů. Od roku 1968 je instalován unikátní kabinkový transportní systém. Jednotlivé kabinky jsou pro pět lidí. Jsou pospojované do vláčků po osmi kabinkách. Cesta vzhůru trvá 4 minuty, zpět o minutu méně. Vyhlídka ve vrcholu oblouku má malá okna, která jsou ze země téměř neviditelná.

Gateway Arch má tvar křivky o rovnici
kde x ∈ [-315,315] (základna je tedy široká 630 stop = cca 192 m). Ve výše uvedeném vzorci se nachází matematická funkce cosh, která se nazývá hyperbolický cosinus.

Podobně jako existují funkce sinus, cosinus, tangens a kotangens. Existují i jejich hyperbolické protějšky - hyperbolický cosinus (cosh), sinus (sinh), tangens (tgh) a cotangens (cotgh). Mají spoustu analogických vlastností, z nichž některé ukáži v následujícím textu.

V minulém článku jsem poukázal na to, jak lze z exponenciální funkce v oboru komplexních čísel získat funkce sinus a kosinus. Podobné úvahy lze provést i v oboru reálných čísel. Rozdělme nekonečnou řadu, pomocí které se definuje exponenciální funkce, na řadu se sudými a lichými členy:
Tento vztah definuje funkce, které se nazývají hyperbolický cosinus (cosh) a sinus (sinh). Bezprostředně hned si lze všimnout, že se jejich definice pomocí nekonečných sum liší akorát v absenci mocniny mínus jedničky:
V učebnicích matematiky se ale většinou používá definice, která má poněkud jiný tvar - je vyjádřena pomocí exponenciální funkce. Abychom došli k tomuto tvaru je nutné si uvědomit, že každou funkci, která je definována na nějakém intervalu symetrickém podle počátku, lze jednoznačne rozložit na součet sudé2 a liché3 funkce.

To znamená, že libovolnou funkci f lze psát jako
Aplikujeme-li tento vztah na exponenciální funkci, získáme tím součet dvou funkcí, pomocí kterých se funkce hyperbolický cosinus
a sinus obvykle definují4 . Grafy funkcí


Z grafů lze vidět, že hyperbolický sinus je lichá funkce, kdežto hyperbolický cosinus je funkce sudá; přesně takhle to platí i pro známé funkce sinus a cosinus. Hyperbolické funkce rovněž splňují spoustu identit, které jsou podobné identitám pro goniometrická funkce, např. známé vzorce pro dvojnásobný argument:
Jak je vidět, první vzorec platí úplně stejně jako u goniometrických funkcí, v druhém vzorci je pouze jediná odlišnost, a to, že u goniometrických funkcí je u funkce sinus znaménko mínus. A podobně to platí i u většiny všech ostatních vzorečků.

Zdroje a další informace
archiweb.cz, en.wikipedia.org, cs.wikipedia.org,

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha


  1. V dobách minulých bylo právě St. Louis posledním místem osídlenecké civilizace před vstupem na Divoký Západ. Nahoru
  2. Funkce se nazývá sudá, jestliže pro všechna x ležící v nějakém intervalu platí f(x)=f(-x). Graf takovéto funkce je souměrný podle osy y. Nahoru
  3. Funkce se nazývá lichá, jestliže pro všechna x ležící v nějakém intervalu platí f(-x)=-f(x). Graf takovéto funkce je souměrný podle počátku souřadnic (bod 0). Nahoru
  4. Funkce hyperbolický tangens a kotangens se definují podobně jako u goniometrických funkcí :
    tgh x = (sinh x)/(cosh x), cotgh x = (cosh x)/(sinh x. Nahoru

sobota, dubna 04, 2009

Kosmické záření a klimatické změny

Rok 1912 nebyl významný jen potopením Titaniku. V tomto roce došlo k objevu do té doby neznámého fenoménu - kosmického záření. Tento objev učinil rakouský fyzik Victor Franz Hess (1883 - 1964), který byl svým objevem1 dosti překvapen, neboť intenzita nově objeveného záření rostla s nadmořskou výškou. Jediným možným vysvětlením bylo, že záření není pozemského původu, ale pochází z vesmíru.

Další zkoumání odhalila podstatu kosmického záření - jedná se o proud vysokorychlostních energetických částic z kosmu, které dopadají do naší atmosféry. Energie tohoto záření činí až 10^20 eV (cca 16 J). Mezi nejfrekventovanější elementární částice v kosmickém záření patří protony (85 - 90 %) a jádra Hélia (9-14 %); zbytek tvoří elektrony a další částice.



Část kosmického záření pochází ze Slunce u zbylé části byl původ dlouho neznámý, proto byla v Argentině uvedena do provozu Observatoř Pierre Augera. Tato observatoř představuje mimořádný mezinárodní projekt, na kterém se podílí i Česká republika. V roce 2007 přinesl tento projekt, jehož celková cena činí 50 mil dolarů, první úspěchy. Vědci dokázali ztotožnit 27 nejvíce energických zdrojů kosmického záření s jádry aktivních galaxií, kde se nachází obří černé díry.


Už delší dobu je známo, že v centrech velkých galaxií se často nacházejí supermasivní černé díry o hmotnosti miliónů Sluncí. Tyto objekty nutí hmotu než skončí definitivně v černé díře obíhat v tzv. akrečním disku, čímž se hmota prudce zahřívá a září prakticky na všech vlnových délkách. Obří magnetické pole černé díry pak dokáže urychlit nabité částice na rychlost blízkou rychlosti světla. Tyto částice pak na Zemi detekujeme jako kosmické záření.

O tom, že sluneční činnost ovlivňuje pozemský klimatický sytém většina vědců nepochybuje. Výsledky z laboratoře Pierra Augera pomohli vědcům v řešení otázky možného vlivu kosmických paprsků na pozemské klima. V roce 2007 publikoval dánský fyzik Henrik Svensmark knihu The Chilling Stars: A New Theory of Climate Change, která v dnešní době, kdy media a politici masivně prosazují jeden vyhraněný pohled na klimatické změny, působí poněkud jako kacířské dílo. Svensmark se zabýval vlivem kosmického záření na pozemské klima - ve svých pracích tvrdí, že příliv kosmického záření do zemské atmosféry má zásadní vliv na výskyt oblačnosti, přičemž tok tohoto záření kolísá v rytmu kolísání sluneční činnosti.

Svensmark již dokázal proti sobě poštvat alarmisty. Není divu, neboť tento dánský fyzik ve svých studiích vyvrací dominantní vliv oxidu uhličitého na klima. Je jasné, že oblačnost má zásadní vliv na pozemské klima. Svensmark ve svých studiích experimentálně doložil, že kosmické záření pravděpodobně zásadním způsobem ovlivňuje tvorbu mraků. Tím, jak dopadající částice kosmického záření reagují s atmosférou Země, vznikají ionty a volné elektrony, které se podílejí na shlukování molekul kyseliny sírové a vody (tzv. kondenzační jádra ), z nichž se postupně rodí mraky.

Během posledního století významně narostlo magnetické pole Země, které funguje jako přirozený štít proti kosmickému záření. Tím pádem atmosféra Země přichází do kontaktu s menší dávkou kosmického záření a vzniká tím menší množství mraků, a tak zřejmě dochází k oteplování.

Samozřejmě, že řada vědců, kteří jsou spojeni s Mezinárodním panelem pro změnu klimatu (IPCC), Svensmarkovu teorii odmítla. Proto vědci připravují velký experiment s názvem CLOUD, který má simulovat vliv kosmického záření na zemskou atmosféru. To by mělo prokázat, zda je Svensmarkova teorie pravdivá či nikoliv.

Zdroje a další informace
cs.wikipedia.org, en.wikipedia.org, www.osel.cz,



  1. Objev byl učiněn během letu balonem, který začal v Ústí nad Labem a dosáhl do výšky 5 km. Za svůj objev dostal Hess v roce 1936 Nobelovu cenu. Nahoru .

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha

Nahrávám obrázek

Klikněte kamkoliv pro zrušení

Obrázek není dostupný

Nahrávám obrázek

Klikněte kamkoliv pro zrušení

Obrázek není dostupný

 

blogger templates | Make Money Online