neděle, července 13, 2008

Jak Euler vyřešil jednu matematickou záhadu

Mezi nekonečnými řadami zaujímají významné postavení dvě řady:
Vypadají docela podobně, ale z hlediska matematické struktury se zásadně liší, ta první, tzv. harmonická řada nemá konečný součet, tedy diverguje. Ta druhá má, jak ukáži později, konečný součet. Divergenci harmonické řady jako první dokázal francouzský matematik a filosof Nicole Oresme (1323-1382). Jeho postup byl geniálně jednoduchý, všiml, že součet třetího a čtvrtého členu je větší nebo roven 1/2, a stejná nerovnost platí dále pro další 4 členy (1/5,...1/8), a pak pro následujících 16 členů od 1/9 do 1/32, a tak pořád dál. Viz schéma:
Ukázal tedy, že součet harmonické řady je větší nebo roven nekonečnému součtu řady samých polovin, a protože nekonečná řada samých 1/2 je divergentní musí být divergentní i samotná harmonická řada. V roce 1735 ve svých dvaceti osmi letech vyřešil Leonhard Euler (1707-1783) problém, který úspěšně odolával mnoha pokusům o jeho vyřešení. Jednalo se o otázku konvergence nekonečné řady ∑ 1/n2 . Motivace pro vyřešení tohoto problému byla velmi velká - pokud by tato řada konvergovala pak rovněž všechny řady
konvergovaly. Euler použil na vyřešení tohoto problému na tehdejší velmi důmyslnou metodu. V podstatě učinil předpoklad, že vlastnosti, které mají konečné polynomy mohou splňovat i nekonečné řady. Na začátku jeho úvah stála funkce sinus, použil v tehdejší době již známý vztah pro tuto funkci:
Tento vztah se nazývá Taylorův rozvoj funkce sinus. Podělil dále tuto rovnici funkcí x:
Tato funkce má kořeny (taková x, že (sin x) / x =0) v bodech x=n·π, kde n=±1,±2,±3,... . Pravá strana ve výše uvedené rovnici představuje v podstatě polynom, a každý polynom lze vyjádřit v součinovém tvaru jeho kořenů (součin ireducibilních faktorů), proto dostáváme po této úvaze následující vztah
, kde se také využil od základní školy všem jistě známý vzoreček (A-B)(A+B)=A2-B2. Teď si musíme dát tu práci - provést naznačené násobení a hledat koeficienty u x2 . Zjistíme, že pro výsledný koeficient u x2 platí:
Ale funkce (sin x)/x má ve svém základním vyjádření koeficient u x2 roven -1/3!, tedy -1/6. Tato dvě vyjádření vztahu pro koeficient u x2 se musí sobě rovnat, Tedy
Z tohoto finálního vztahu vyplývá nádherný vzorec
a navíc i konvergence všech nekonečný řad (viz srovnávací kritérium) ∑ 1/ns , kde s ≥ 2.Linkuj! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha

11 komentářů:

sandra řekl(a)...

naročni matematicka uloha

Anonymní řekl(a)...

Pekny clanok, nevedel som ako sa dokaze ze ta rada konverguje. Z toho vysledku vyplyva ze konverguju rady pre s>2. Chcelo by to pokracovanie, alebo aspon zmienku ako je to v pripade ked 1< s <2.

Anonymní řekl(a)...

mas velmi pekny blog. som rada, ze som ho objavila :)

Anonymní řekl(a)...

V pripade 1< s <2 tento rad konverguje. Vyplyva to z Cauchyho integralneho kriteria konvergencie.

Florametis řekl(a)...

OK, máš pravdu; zapomněl jsem specifikovat, že pro případ toho článku s náleží do oboru přirozených čísel

Jeyekomon řekl(a)...

Velmi pěkný článek.
Docela by mě zajímalo, jestli (a jak) lze určit (konvergence je jasná) součty SUM[n ^ s] pro s < -2, klidně i pouze pro celá "s".
Vsadil bych se však, že tohle bude mít už co do činění s modernější (a tedy asi už ne tak zajímavou pro širokou veřejnost) a hlubší matematikou..

Florametis řekl(a)...

Součet nekonečné řady SUM[n ^ s] pro s = -2 lze řešit i pomocí Fourierovy řady pro funkci x^2. Myslím, že by podobně šly počítat i další řady tohoto typu.
Pár některých výsledných součtů pro SUM[n ^ s, n -> inf]:
1. s=3 : 1.20205690315032
2. s=4 : pi^4/90
3. s=5 : 1.0369277551
4. s=6 : pi^6/945
Tedy jak s se "blíží" k nekonečnu, tak se i naše suma blíží k hodnotě 1.

Jeyekomon řekl(a)...

Fascinující, jak má matematika potřebu okamžitě tíhnout k abstrakci, obecnosti a složitosti - zjistil jsem, že součty SUM[n ^ s] mají co do činění s Riemannovou zeta funkcí, což už je pokročilá matematika plná nevyřešených problémů.
A začalo to tak jednoduše..

Ty součty pro s = -2; -4; -6 vypadají zajímavě - vždy je to njaký výraz obsahující , ale ja je to s těmi s = -3; -5 ??
Mají také nějaký uzavřený tvar??

Florametis řekl(a)...

Obávám se, že pro s=-3,-5,... součet nebude mít žádný pěkný "uzavřený" tvar. Např. Součet pro s=-3 - tzv. Apéryho konstanta má neukončený desetinný rozvoj: 1.2020569031595942853997381615...

Anonymní řekl(a)...

pre konvergenciu radu ktory vyriesil Euler v pripade ciselnej mocniny (s) v otvorenom intervale (1,2) Cuachyho integralne kriterium (kedze funkcia ktora je obrazom radu je nerastuca na celom intervale svojej ingralnej cesty da sa kriterium aplikovat)poukazuje na konvergenciu kazdej rady ktora ma ciselnu mocninu ostro vacsiu ako je jedna vtomto intervale, cela myslienka a hlbka napadu spociva vtom ze ked je mocnina vacsia co 1 co i len o miliontinu cislo sa tak stane racionalnym a v citateli zlomku bude cislo vacsie ako v menovateli to sa odrazi po zintegrovani a to nakoniec v limite ktorej premenna funkcie pojde k nekonecnu bude predstavovat ciselny vysledok ktory sa predpoklada pre splnenie kriteria stoho vsetkeho vipliva ze i nepatrna mocnina vacsia ako jedna narusi strukturu riemmanovej rady natolko aby sa nekonecno zvratilo svoju strukturu na konecny rozmer ukrity v cisle(gramatiku si nevsimajte je to shit :~) )

Anonymní řekl(a)...

A mymochodom ked je uz rec o Eulerovi skutocne to bol genius totis ked sa ras zauberal faktorialom uvedomil si vdaka svojej genialnej pameti ze isty nevlastny integral ma po zintegrovani vlastnost pre prirodzene cislo zosobnovat faktorial tuto vinimocnu funkciu nazval ponom gamma funkcia alebo Eulerov integral prveho druho, to by este nebolo nic ale vdaka nej zostrojil beta funkciu ktora mala vsebe hlbku ktoru si az o 250 rokov vsimol taliansky fyzik a uvedomil si za tato starucka formula zapisana Eulerom je vlastne rovnica popisujuca silnu jadrovu silu tretiu interakciu znamych sil tym sa stala zakladom pre teorie strun ktore zjednocuje M teoria popisujuca rovnice vyjadrujuce spojeniu vsetkych interakcii skratka naplnenie Einstainoveho sna o jednotnej teorii ktoru nikdy nenaplnil, ztoho vsak plinie iba tolko ze Euler bol tak genialny ze to hadam sam nevedel :))

 

blogger templates | Make Money Online