Nekonečná řada a její součet

V minulém příspěvku jsme viděli, jak moderní matematika dokázala vyřešit starý antický problém. Uvedenou metodu nelze bohužel použít pro všechny nekonečné řady.

Uvažujme například nekonečnou řadu

Tahle řada má několik rychlých způsobů "výpočtu". Lze se na ní dívat jako na nekonečný součet dvojic (1-1) nebo nekonečný součet jedničky a nekonečně mnoho dvojic (-1+1). Pak tedy v prvním případě by byl součet roven nule a v druhém případě roven jedné.

Nabízí se i další varianta výpočtu, pod původní řadu si napíšeme tu stejnou řadu, kterou vynásobíme číslem -1:

Pokud nyní odečteme druhou řadu od první získáme tak rovnost 2S=1. Celkem jsme tedy získali tři možné varianty součtu nekonečné řady: 0,1 a 1/2.
Která je varianta je ale správná? Odpověď je žádná. Neboť tato řada patří mezi takzvané alternující (oscilující) řady, u kterých nelze najít jednoznačný součet.

Podívejme se nyní blíže na základní pojmy v teorii nekonečných řad. Nekonečná řada

se na nazývá konvergentní, jestliže posloupnost částečných součtů s₁=a₁, s₂=a₁+a₂, s₃=a₁+a₂+a₃, ... s_n=a₁+a₂+a₃+...+a_n,... má vlastní limitu. Což zjednodušeně znamená, že pokud bychom zkoušeli počítat součet řady s postupně narůstajícím počtem sčítanců, pak bychom se postupně dostávali k čím dál přesnějšímu výsledku. Řady, které nejsou konvergentní se nazývají divergentní, mezi ně patří i řady oscilující.

V minulém příspěvku jsme viděli příklad nekonečné řady, která se vyskytuje v aporii Achilles a želva. Tato řada patří do důležité skupiny geometrických řad, které lze obecně vyjádřit jako:

Zabývejme se nyní otázkou konvergence řady. Výraz q (kvocient) zde má roli parametru. Určíme nejprve n-tý člen posloupnosti částečných součtů a pak provedeme limitní přechod.

1. Nechť q=1. Pak s₁=a, s₂=a+a=2a, ... s_n=na. Provedeme limitní přechod ("pustíme n do nekonečna") s = lim s_n = lim na = ±∞. Řada je v tomto případě divergentní, a tedy součet neexistuje.
2. Nechť q=-1. Pak s₁=a, s₂=a-a=0, s3=a-a+a=a ... Tedy s_n=0 (pro n sudé) nebo s_n=a (pro n liché). Posloupnost částečných součtů má tedy tvar 0,a,0,a,0,...., nemá limitu, a nekonečná řada tedy osciluje.
3. Nechť q ≠1, q ≠ -1. V tomto případě platí s_n=a+aq+...+aq^n-1 . Nyní použijeme vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti:
   
   
   

   Nyní musíme opět rozlišit případy, kdy:
   

   • q ∈ (-1;1). Spočteme limitu lim_n→∞ s_n :
     
     

     Tento případ je nejzajímavější, geometrická řada je konvergentní a má tedy součet, který je dán výše uvedeným vzorečkem .

   • V ostatních případech (q>1 nebo q <-1) použitím výše uvedeného vzorce zjistíme, že limita s_n není rovna konečnému číslu

Proto, v případě, kdy |q|<1 platí pro součet nekonečné geometrické řady vzorec

Tento vzoreček lze snadno aplikovat v případech, kdy chceme vyjádřit pomocí zlomku číslo s nekonečným desetinným rozvojem.

Příklad: Vyjádřeme pomocí zlomku číslo 0,02222222222222222222.
Platí: 0,02222222222222222222=0,02+0,002+0,0002+..... Sčítance tvoří geometrickou posloupnost s prvním členem a=0,02 a kvocientem q=1/10. Platí tedy, že |q|<1. A proto

Tedy 0,022222222222222222222222222222222222=1/45.