neděle, října 19, 2008

Krása Eulerova čísla 1

Mezi nejdůležitější matematické konstanty patří e, která se někdy nazývá Eulerova či Napierova konstanta. Matematika sice neobsahuje tolik význačných konstant jako fyzika, ale její konstanty jsou často pilířem určité ucelené teorie - např. imaginární jednotka i pro terorii komplexních čísel, 0 a 1 pro aritmetiku, či Ludolfovo číslo π pro geometrii.

Konstanta e, jejíž přibližná hodnota je 2,718281828459045235360287471352, se často definuje jako takové jediné reálné číslo a s vlastností, že funkce ax má hodnotu směrnice tečny v bodě 0 rovnu 1. První odkazy na tuto konstantu se objevují v roce 1618 v práci o logaritmických funkcích Johna Napiera. V této práci byla příloha, která obsahovala tabulku různých konstant a   funkčních hodnot přirozených logaritmů. Ale samotný "objev" této konstanty se přisuzuje Jacobu Bernoullimu, který se zabýval výpočtem limity
neboť jak se ukázalo, tato limita se rovná právě Napierově konstantě. Éčko se pro tuto konstantu používá od roku 1736, kdy Leonhard Euler publikoval svoji práci Mechanica.

Podívejme se nyní na důkaz, že výše uvedená limita existuje a  je rovna e. V důkazu využijeme známé nerovnosti mezi geometrickým a aritmetickým průměrem:
Dokažme nejprve, že posloupnost {1+1/n}n (n=1,...,∞) je rostoucí1:
Dále dokážeme, že posloupnost {1+1/n}n je shora omezená.
Ještě lze dokázat, že poslední suma je menší nebo rovna 3. Nyní již víme, že naše zkoumaná posloupnost má limitu e a pro tuto limitu platí, že je menší nebo rovna výše uvedené sumě. Pokud dokážeme, že platí i obrácená nerovnost, pak získáme vztah pro numerický výpočet Eulerovy konstanty.

Zvolme m,nN, mn a rozepišme podobně jako výše výraz
a nyní limitním přechodem pro n → ∞ dostaneme pro každé mN
Provedeme-li další limitní přechod m → ∞ dostaneme
Celkem tedy platí
a snadno si můžeme pomocí součtu několika prvních členů výše uvedené nekonečné řady ověřit, že e=2,718281.....

Eulerova konstanta má spoustu zajímavých vlastností a aplikací, o tom ale příště.

Poznámky
  1. to platí tehdy, když pro všechny členy posloupnosti platí, že následující člen je větší než předcházející člen.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha

6 komentářů:

keywert řekl(a)...

mna by zaujimalo aky vyznam maju limity v niakom praktickom zivote. nemyslim tym obycajny zivot ale napr. ktora sučiastka, technologia alebo niaky proces by sa nezaobyšiel bez tohto poznatku. ako napr. Pí je dosť doležite a stretavame sa snim často. Ale načo su limity?

Florametis řekl(a)...

Spousta veličin ve fyzice se definuje pomocí derivace. A derivace se definuje pomocí limity. Např. okamžitá rychlost v čase t_0 se definuje jako limita dráhy s v tomto bodě:
v(t_0) = lim[t->t_0] s(t). Podobně je to i se zrychlením... Dá se říci, že pomocí limit se podařilo vysvětlit podstatu pohybu.

Jeyekomon řekl(a)...

keywert: Sice je krásné, když má něco matematického přímé využití v průmyslu, ale v drtivé většině připadů tomu tak není a proto je lepší smířit se s faktem, že potřeba praktického využití by neměla stát vždy na prvním místě.

Výborný článek! Těším se na pokračování.
Jen bych upozornil na jednu maličkost (na níž jsem byl upozorněn svým přednášejícím), tedy, že je důležité nesplést Eulerovo číslo s Eulerovou konstantou.

Anonymní řekl(a)...

Praktické využití limit... Já bych to vyjádřil asi takhle, pochopitelně už nejací matematici ve starém Egyptě znali existenci čísla pí, ale jen velice přibližně. Podobně i spousta jiných důležitých čísel a veličin byla "známá", ale až právě rozvoj infinitezimálního počtu umožnil jejich přesné odvození, a tedy jejich praktické využití. S jeho pomocí byly zadefinovány veličiny, které do té doby lidé je instinktivně chápali (což je mimochodem prakticky vše, včetně délky, objemu a pod. - bez znalosti infinitezimálního počtu toto zcela pochopit nelze). Tolik teorie úvodem.

A to praktické využití? Chtěl bych někoho vidět, jak by dokázal naprojektovat budovu vyšší než 20m (pokud by neměla podstavu pyramidy) která by odolala zemětřesení. Nebo jak by se vám dobře četlo toto na internetu, když by neexistovalo ani to, a vlastně ani počítače, ani kalkulačky... Nic. Auta - možnost deformačních zón, díky kterým je mnohem snažší přežít havárii - to je také infinitezimální počet. Vlastně vůbec auta jako taková:P

Takže pravda, limity opravdu v běžném životě běžného člověka nemají význam, ale díky nim vypadá běžný život běžného člověka tak jak vypadá. Bez nich by jste se vraceli domů k večeru z pole, vodu by jste ohřívali na kamnech ve vašich maximálně kamenných 2 patrových domech, a pokud by jste někam chtěli, museli by jste mít koně. Takže tak ;)

Anonymní řekl(a)...

Až na ta BY JSTE (byste), se stím dá souhlasit!

Anonymní řekl(a)...

Ale chybička se vloudí vždycky! Takže ... s tím!

 

blogger templates | Make Money Online