neděle, ledna 18, 2009

O důležitosti exponenciální funkce

V minulém článku jsme viděli, jak lze vyjádřit Eulerovo číslo pomocí limity a nekonečné řady. Zobecněním tohoto vztahu získáme definiční vztah pro (přirozenou) exponenciální funkci:
(Vykřičník za číslem označuje faktoriál z tohoto čísla, platí : N!= N·(N-1)·(N-2)···3·2·1, 0!=1.) Tento definiční vztah exponenciální funkce je možná poněkud složitý, ale jeho vyšší obecnost nám dovoluje z tohoto vztahu získat vztahy pro další základní matematické funkce, jejichž spojitost s exponenciální funkcí není na první pohled zřejmá: Jedná se především o funkce sinus a cosinus.

Než se do toho pustíme, je nutné vysvětlit, alespoň pár základních pojmů z teorie komplexních čísel. Reálná čísla, se kterými se setkáváme v běžném životě, dokáží přesně vyjádřit jakékoliv množství či délku. Existují ovšem případy, kdy tato čísla přestávají stačit - existují rovnice s reálnými koeficienty, které nemají v oboru reálných čísel řešení. Příkladem je rovnice
Proto byly zavedeny tzv. komplexní čísla, aby byl problém chybějících kořenů algebraických rovnic vyřešen. Základem je myšlenka vhodně zadefinovat odmocninu z -1 a korektně zadefinovat principy početních operací.

Definujme tzv. imaginární jednotku i takto:
Poznamenejme pak, že obecný tvar komplexního čísla je a+bi, kde i je imaginární jednotka; další info třeba na wikipedii. Nyní se již můžeme pustit do prvního rázného kroku. Zkusme do definičního vzorce pro exponenciální funkci dosadit za x výraz ix:
Tedy získali jsme vyjádření v podobě součtu dvou sum. Otázkou je, co se skrývá za těmito sumacemi? Lze dokázat, že se jedná o velmi známé funkce cosinus a sinus; můžeme si to ověřit konstrukcí grafů funkcí
na intervalu [-2π;2π]:
Je tedy vidět, že platí následující vztahy
Oprava posledního vzorce:

První dva vzorce se často používají pro definici funkcí sinus a cosinus. Pomocí těchto vzorců počítají tyto funkce i kalkulačky. Poslední vztah se nazývá Eulerův vzorec. Podle mnohých vědců se jedná o nejpozoruhodnější matematický vzorec, neboť vyjadřuje těsnou vazbu mezi exponenciálními a goniometrickými funkcemi a ilustruje tak důvod, proč bývá exponenciální funkce považována za nejdůležitější matematickou funkci vůbec. O hlubších důsledcích Eulerova vzorce někdy příště.

Zdroje a další informace:
Exponential_function, Euler_formula.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha

Nahrávám obrázek

Klikněte kamkoliv pro zrušení

Obrázek není dostupný

2 komentáře:

Foliovision řekl(a)...

Super, vdaka za kratku exkurziu do gymplackych casov! S komplexnymi cislami som mal vtedy znacny problem (a ziaden internet, toboz nie Wiki, ktora by mi to polopatisticky vysvetlila) :)

Jeyekomon řekl(a)...

Jen na úvod poznámka - v tom posledním vzorci Vám pravděpodobně vypadlo "i".
Správná formulace je tedy:
EXP( i * x ) = COS( x ) + i * SIN( x )
Ještě je slušné dodat, že to platí pro libovolné reálné "x".

No, ale hlavně jsem chtěl navrhnout jednu celkem zajímavou věc do příště, kdyby se náhodou zalíbila, narazil jsem na ni nedávno:
Vše začíná známou hádankou:
Kde je chyba?
-1 = i * i = SQRT(-1) * SQRT(-1) = SQRT[(-1) * (-1)] = SQRT(1) = 1

Přičemž problém je evidentně v tvrzení:
SQRT(a * b) = SQRT(a) * SQRT(b)
Což obecně pro komplexní čísla (C) neplatí.
Ovšem pro část C ano. Je zajímavé na problém použít komplexní exponencielu, kterážto celou situaci poměrně objasní, a určit podmínky, kdy ona rovnost opravdu platí. Je to trocha zabřednutí do mnohoznačných funkcí apod., ale je to velmi poučná ukázka, jak ilustrovat jednak výhody komplexní exponenciely, jednak hluboké myšlenky a strukturu matematiky, skrývající se zajednoduchými hádankami.

 

blogger templates | Make Money Online