Hyperbolické funkce a jejich využití v architektuře

Mezi největší architektonické skvosty USA patří podle mého názoru Gateway Arch v St. Louis, Missouri. Tato stavba je příkladem využití matematiky v praxi. Myšlenka na postavení památníku osídlování Amerického západu¹ vznikla v roce 1933 v myšlénkách Luthera Ely Smitha veřejného činitele ze St. Louis. Trvalo 14 let než došlo k vypsání architektonické soutěže na tento monument. Soutěž nakonec vyhrál architekt finského původu Eero Saarinen v roce 1947. Jeho vítězný návrh představoval zužující se oblouk ve tvaru křivky řetězovky. Jednalo se však o technologicky velmi složitý projekt, a tak i kvůli válce v Koreji (chybějící finanční prostředky) byl projekt dokončet až v roce 1965.

Stavba je vysoká 192 m a v nejširším místě 192 m široká. Průřez má tvar trojúhelníku, o délce stran 16,5 m u paty a 5,2 m ve vrcholu oblouku. V konstrukci stěn byla použita kombinace železobetonové skořepiny a karbonové ocelové konstrukce. Ve vnitřku konstrukce se nachází transportním systémem, který přepravuje návštěvníky na vrchol, kde se nachází vyhlídková plošina.

Do roku 1968 se bylo možno dopravit na vrchol jedině pomocí více než tisíce schodů. Od roku 1968 je instalován unikátní kabinkový transportní systém. Jednotlivé kabinky jsou pro pět lidí. Jsou pospojované do vláčků po osmi kabinkách. Cesta vzhůru trvá 4 minuty, zpět o minutu méně. Vyhlídka ve vrcholu oblouku má malá okna, která jsou ze země téměř neviditelná.

Gateway Arch má tvar křivky o rovnici

kde x ∈ [-315,315] (základna je tedy široká 630 stop = cca 192 m). Ve výše uvedeném vzorci se nachází matematická funkce cosh, která se nazývá hyperbolický cosinus.

Podobně jako existují funkce sinus, cosinus, tangens a kotangens. Existují i jejich hyperbolické protějšky - hyperbolický cosinus (cosh), sinus (sinh), tangens (tgh) a cotangens (cotgh). Mají spoustu analogických vlastností, z nichž některé ukáži v následujícím textu.

V minulém článku jsem poukázal na to, jak lze z exponenciální funkce v oboru komplexních čísel získat funkce sinus a kosinus. Podobné úvahy lze provést i v oboru reálných čísel. Rozdělme nekonečnou řadu, pomocí které se definuje exponenciální funkce, na řadu se sudými a lichými členy:

Tento vztah definuje funkce, které se nazývají hyperbolický cosinus (cosh) a sinus (sinh). Bezprostředně hned si lze všimnout, že se jejich definice pomocí nekonečných sum liší akorát v absenci mocniny mínus jedničky:

V učebnicích matematiky se ale většinou používá definice, která má poněkud jiný tvar - je vyjádřena pomocí exponenciální funkce. Abychom došli k tomuto tvaru je nutné si uvědomit, že každou funkci, která je definována na nějakém intervalu symetrickém podle počátku, lze jednoznačne rozložit na součet sudé² a liché³ funkce.

To znamená, že libovolnou funkci f lze psát jako

Aplikujeme-li tento vztah na exponenciální funkci, získáme tím součet dvou funkcí, pomocí kterých se funkce hyperbolický cosinus

a sinus obvykle definují⁴ . Grafy funkcí

Z grafů lze vidět, že hyperbolický sinus je lichá funkce, kdežto hyperbolický cosinus je funkce sudá; přesně takhle to platí i pro známé funkce sinus a cosinus. Hyperbolické funkce rovněž splňují spoustu identit, které jsou podobné identitám pro goniometrická funkce, např. známé vzorce pro dvojnásobný argument:

Jak je vidět, první vzorec platí úplně stejně jako u goniometrických funkcí, v druhém vzorci je pouze jediná odlišnost, a to, že u goniometrických funkcí je u funkce sinus znaménko mínus. A podobně to platí i u většiny všech ostatních vzorečků.

Zdroje a další informace
archiweb.cz, en.wikipedia.org, cs.wikipedia.org,

---

1. V dobách minulých bylo právě St. Louis posledním místem osídlenecké civilizace před vstupem na Divoký Západ. Nahoru
2. Funkce se nazývá sudá, jestliže pro všechna x ležící v nějakém intervalu platí f(x)=f(-x). Graf takovéto funkce je souměrný podle osy y. Nahoru
3. Funkce se nazývá lichá, jestliže pro všechna x ležící v nějakém intervalu platí f(-x)=-f(x). Graf takovéto funkce je souměrný podle počátku souřadnic (bod 0). Nahoru
4. Funkce hyperbolický tangens a kotangens se definují podobně jako u goniometrických funkcí :
   tgh x = (sinh x)/(cosh x), cotgh x = (cosh x)/(sinh x. Nahoru