sobota, února 03, 2007

Jak rychle spočítat hodnotu polynomu

Polynom, též mnohočlen se nejčastěji definuje jako Polynom patří mezi základní matematické funkce, neboť libovolná spojitá funkce lze libovolně přesně vyjádřit určitým polynomem. To nás v tuto chvíli nezajímá. Dále můžeme snadno definovat derivaci polynomu Polynom je tedy funkce, která obsahuje spoustu mocnin proměnné x, proto budeme-li chtít v nějakém bodě, řekněme a, spočítat hodnotu polynomu normálním způsobem, pak bychom museli do všech sčítanců dosadit za x dané číslo a, což může být značně pracné.

Tuto situaci značně usnadňuje tzv. Hornerovo schéma, které značně ulehčuje počítání hodnoty polynomu v libovolném bodě.
Polynom P(x) zapíšeme pomocí vytykání x v následujícím tvaru:

Zapíšeme-li pak poslední číslo c0 představuje právě hodnotu polynomu P(x) v bodě x.

Příklad: Uvažujme následující polynom:

Spočítejme hodnoty polynomu pro x=2, x=3 a rovněž spočítejme hodnoty derivace polynomu pro tyto hodnoty. Výpočet bude probíhat v jakémsi tabulkovém schématu. Na první řádek napíšeme v přesném pořadí koeficienty polynomu. První políčko druhého řádku bude hodnota, ve které chceme spočítat hodnotu našeho polynomu, tedy 2, viz obrázek:

Dále opíšeme hodnotu prvního koeficientu (u nejvyššího členu), tedy 1. Další políčka v druhém řádku jsou jednotlivé výpočty, přičemž poslední, červeně označené číslo označuje hodnotu našeho polynomu, tedy P(2). K jednotlivým výpočtům se došlo takto:
2*1+2=4, 2*4+2=10, 2*10+3=23, 2*23+8=54 a 2*54+2=110.
Stejně tak na čtvrtém řádku probíhá výpočet P(3), P(3)=512. Na třetím a pátém řádku probíhají výpočty hodnot derivace polynomu pro x=2, resp. x=3, P'(2) a P'(3).
Pro výpočet P'(2) se použije jako záhlaví druhý řádek (1,4,10,23,54, tedy nepoužije se hodnota P(2) ) a postupuje se zcela analogicky, jednotlivé výpočty jsou:
1 (ta se opsala), 2*1+4=6, 2*6+10=22, 2*22+23=67 a 2*67+54=188.
A zcela analogicky probíhá na posledním řádku výpočet P'(3), P'(3) =701.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk CoJeNového Návštěvní kniha

1 komentář:

Jiří řekl(a)...

Libovolná spojitá funkce *lze přesně* vyjádřit? Přibližně ano, ale stále je to jenom aproximace funkce polynomem. Nebo se snad mýlím?

 

blogger templates | Make Money Online