Řešení rovnic pomocí inverzní interpolace

V tomto příspěvku ukáži na příkladu použití polynomiální interpolace pro řešení libovolné rovnice.
Řešme rovnici:
kde e^x představuje exponenciální funkci se základem e=2.71828183. Protože daná funkce má kořen uvnitř intervalu (2.5, 3)
(o tom se můžeme přesvědčit tak, že spočítáme funkční hodnoty v bodech x=2.5 a x=3 funkce na levé straně (1) a zjistíme, že se liší znaménkem, pak každá spojitá funkce na tomto intervalu (2.5,3) musí nutně protnout osu y),
zvolíme následující uzly (jsou to kořeny Čebyševových polynomů, ale mohou být i jiné):
2.5122, 2.6031, 2.7500, 2.8969, 2.9878
funkční hodnoty získáme postupně dosazením do levé strany rovnice (1):
3.0153, 2.3607, 0.9107 , -1.1328, -2.7572.
Rovnici (1) vyřešíme, tak že najdeme inverzní funkci pro funkci

a spočítáme její hodnotu v bodě 0. Problémem je, že vzorec pro takovou funkci nalézt nelze. Proto tento problém vyřešíme numericky: prohodíme funkční hodnoty za uzly, tedy budeme interpolovat funkci zadanou následující tabulkou:

Vytvoříme Newtonův interpolační polynom (viz minulý příspěvek), ten má tvar:

A spočítáme jeho hodnotu v 0, tedy P(0)=2.8205. Což je přibližné řešení rovnice (1), které je přesné na dvě desetinná místa.
Na obrázku je výsledný interpolační polynom:

CoJeNového