Hledání kořenů polynomu

V minulém příspěvku jsem ukázal, jak efektivně spočítat hodnotu polynomu. Nyní se zaměříme na kořeny polynomů. Kořenem polynomu rozumíme takové x, že platí P(x)=0. Polynomem stupně n budeme rozumět výraz kde koeficienty jsou reálná čísla. Polynom stupně n může mít nejvýše n reálných kořenů ( v komplexním oboru jich má přesně n, což je důsledek Základní věty algebry; např. polynom x²-2x+1 má kořeny 1, 1 (dvojnásobný kořen se chápe jako dva různé kořeny). Chápeme-li polynom jako reálnou funkci reálné proměnné, pak kořen polynomu představuje takový bod na ose x, kde polynom jako křivka protíná osu x.

Kořeny polynomů se dají určit dvěma způsoby. Buď použijeme explicitní vzorce (jako např. pro polynom druhého st. - známé vzorce pro kvadratickou rovnici) nebo využijeme nějaké numerické metody. Druhý způsob je univerzálnější, neboť vzorce pro nalezení kořenů polynomů existují pouze pro polynomu nejvýše 4. stupně (objev geniálního norského matematika Abela, a i tak s výjimkou polynomu prvního a druhé stupně jsou značně složité, viz Cardanovy vzorce).

Vhodných numerický metod je více, o nich bude řeč příště. Pro použití numerických metod je dobré znát hranice kořenů, tedy intervaly na reálné ose, kde se mohou vyskytnout.

Označme kde a_k , k=0,1,..., n, a₀a_n ≠ 0, jsou koeficienty polynomu P, Pak pro všechny jeho kořeny ζ_k platí


Příklad. Chceme určit hranice reálných kořenů polynomu

Určíme A, B : A = max(10, 1, 1, 3, 8, 2 ) = 10, B = max(1, 1, 3, 8, 2, 1) = 8, a proto
To znamená, že reálné kořeny leží ve sjednocení intervalů (-11,-5/9) a (5/9,11). Použijeme-li nějaký počítačový program na výpočet kořenů, můžeme si náš výsledek ověřit - náš polynom má následující kořeny (pouze 3. a 4. kořen je reálný) :