Řešení rovnic pomoci metody prosté iterace

V široké praxi se často setkáváme s problémem, kdy máme vyřešit nějakou nelineární rovnici. Takovéto rovnice bývají často velmi složité a jejich řešení nelze často vyjádřit explicitně. Zde nastupují numerické metody řešení nelineární rovnice, pomocí kterých lze nalézt alespoň přibližné řešení.

Mezi základní metody patří tzv. metoda prosté iterace. Která je založena na myšlence převodu rovnice na ekvivalentní tvar. V tomto případě nehledáme průsečík s osou x - hledáme průsečík grafu funkce g s přímkou y=x. Tedy hledáme pevný bod funkce g. Pro názornost vysvětlíme tuto metodu na následujícím příkladě: Nalezněte nenulové řešení rovnice

kde e^x je exponenciální funkce. Nejprve je potřeba nalézt interval, kde má funkce f kořen. Spočítáme několik funkčních hodnot a zjistíme, že f(2)=4.3891 a f(3)=-3, proto je zaručeno (viz minulý příspěvek), že v intervalu (2,3) leží kořen. Nyní je potřeba nalézt funkci g, to se dělá tak, že se z rovnice vyjádří vhodným způsobem proměnná x. Způsobů tohoto vyjádření je více, některá nejsou vhodná, neboť výsledná metoda nemusí konvergovat. Pro naši rovnici je např. vhodné vyjádření Tedy výsledná iterační metoda je tvaru která za předpokladu, že zvolíme počáteční iteraci uvnitř intervalu (2,3) nám umožní nalézt přibližné řešení rovnice. Zvolme počáteční iteraci x⁰=2.5, pak další iterace vyjdou takto:

Dosazením hodnoty 2.8214 do naší rovnice získáme 0.00099, tedy našli jsme docela dobré přibližné řešení naší rovnice. Grafický průběh výpočtu:


Výše uvedená metoda, jak bylo uvedeno, je založena na hledání pevného bodu funkce g. Otázkou je, kdy bude takový pevný bod existovat. Předpokládejme, že platí: 1. funkce g je spojitá uvnitř určitého konkrétního intervalu, 2. funkce g zobrazuje tento interval na sebe. Při splnění těchto dvou podmínek je zaručena existence alespoň jednoho pevného bodu, pokud navíc pro všechna x v tom intervalu platí:, pak existuje pouze pevný bod existuje pouze jeden.

Při splnění těchto podmínek bude vždy metoda prosté iterace konvergovat, tedy posloupnost iterací bude konvergovat k přesnému řešení libovolné rovnice.