Nalezení hodnot kořenů polynomu

Velmi často se v matematice a dalších přírodních vědách dostaneme do situace, kdy potřebujeme nalézt kořeny nějakého polynomu. Polynomem budeme rozumět výrazPolynom (mnohočlen) má jednu velmi hezkou vlastnost: v každém bodě uzavřeného intervalu je spojitý. Uvažujme polynom

Nalezněme všechny jeho reálné kořeny. Nejprve určeme intervaly, kde se kořeny mohou nacházet, viz minulý příspěvek. Platí: A=10, B=10 ( ξ_k, k=1,2,3 jsou kořeny)

Tedy kořeny našeho polynomu mohou ležet pouze ve dvou intervalech: I1= [-11,4/9] nebo I2=[4/9,11]. Nyní se budeme snažit najít nějaký menší podinterval intervalu I1 nebo I2, kde leží nějaký kořen. Spočítáme pak pomocí Hornerova schématu hodnoty polynomu v krajních bodech uvažovaného podintervalu a pokud bude platit, že hodnoty polynomu v krajních bodech mají opačná znaménka, pak máme jistotu, že v uvažovaném intervalu leží alespoň jeden kořen.

Spočítejme např. hodnoty polynomu v -4,-3,-2,-1 a 0.4444, 1.4444, 2.4444 a 3.4444, vyjde

aOdsud vyplývá, že -4 je jedním z kořenů, neboť P(-4)=0. Dále vidíme, že hodnota polynomu na 0.4444 je kladná a na 1.4444 je záporná, takže v intervalu [0.4444 , 1.4444] musí ležet kořen a podobně i v intervalu [1.4444 , 2.4444] leží také kořen. Nyní můžeme použít nějakou numerickou metodu. Pro polynomy je vhodná zejména Newtonova metoda. Newtonova metoda se zapisuje ve tvaru

Tedy Newtonova metoda generuje posloupnost x⁰, x¹, x², ..., která za určitých předpokladů (funkce je spojitá na daném intervalu, který je dostatečně malý a má zde kořen a spojité derivace až do druhého řádu) konverguje k přesné hodnotě kořene polynomu.

Newtonova metoda se také nazývá metoda tečen, neboť x^k+1 představuje průsečík tečny polynomu P (na obrázku je obecná funkce f) v vodě x^k s osou x. Viz Obrázek (x⁰ je počáteční aproximace, x¹ je náš průsečík, ve kterém se sestrojí další tečna)Zkusme vypočítat Newtonovou metodou přibližnou hodnotu kořene našeho polynomu uvnitř intervalu [0.4444 , 1.4444]. Jako počáteční aproximaci zvolme levý krajní bod intervalu tedy x⁰ = 0.4444, další aproximace je rovna


a další aproximace: x² = 0.9928, x³ = 1.0000 a x⁴=1.0000. Dosazením 1 do předpisu polynomu P zjistíme, že 1 je skutečně kořen. Zcela analogicky zjistíme, že kořenem je i 2.

Newtonova metoda (pro polynomy) vytváří posloupnost, která konverguje k přesné hodnotě kořene, za předpokladu dobře zvolené počáteční aproximace. Za počáteční aproximaci, se volí nejčastěji krajní bod nějakého malého intervalu [a,b] pro který platí : P(a) · P(b) < 0, tedy hodnoty polynomu v krajních bodech mají opačná znaménka.