Od Zénóna k nekonečným řadám

Mezi nejznámější antické paradoxy patří paradox Achilla a želvy. Tento paradox spolu s dalšími vyslovil v pátém století před naším letopočtem Zénón z Eleje. Chtěl tím dokázat především nemožnost pohybu.

Paradox Achilla a želvy spočívá v následujících úvahách. Achilles má závodit s želvou ve sprintu na 100 m. Protože je Achilles desetkrát rychlejší než želva, dostane želva desetimetrový náskok. Závod je odstartován a Achilles začíná želvu dohánět. Achilles uběhne 10 m a dostane se do místa, z něhož startovala želva. V tento okamžik urazila želva již jeden metr, takže má před Achillem náskok jednoho metru. Achilles uběhne tuto vzdálenost, ale želva je stále napřed, nyní o 1/10 m. Ve chvíli, kdy Achilles dosáhne i tohoto bodu, je želva o 1/100 m před ním. A tak dále až do nekonečna. Náskok želvy se sice stále zmenšuje, ale želva pořád vede, a tedy Achilles nemůže tento závod vyhrát.

O podobných úvahách, o podstatě prostoru, času a pohybu, debatovala spousta filozofů, ale definitivně byly tyto myšlenkové postupy, které měly dokázat nemožnost pohybu, vyvráceny až s nástupem matematické analýzy v devatenáctém století, která dokázala korektně zadefinovat a pochopit pojem nekonečno.

Tak například výše zmíněný Zénónův paradox byl vyřešen následovně. Náskok želvy před Achillem tvoří klesající posloupnost:

Tedy řešení tohoto paradoxu souvisí zřejmě s nekonečným součtem

kde tři čtečky znamenají, že se sčítá až do nekonečna. Takovéto výrazy se nazývají nekonečné řady a značí se ∑ . V našem případě nekonečný součet lze zapsat jako

Numericky nemůžeme samozřejmě všechny členy řady sečíst, ale můžeme tak získat takzvané částečné součty, které tvoří posloupnost tzv. částečných součtů, která hraje v teorii nekonečných řad velmi důležitou roli. Vraťme se k našemu nekonečnému součtu. Nabízí se zásadní otázka může mít nekonečná řada čísel konečný součet. Antičtí filozofové si mysleli, že ne, a proto byl pro ně závod Achilla se želvou paradoxem.

Zkusme ale vynásobit součet S deseti získáme tak následující nekonečný součet

A nyní obě rovnice odečtěme a získáme tak rovnost

Tedy nekonečná číselná řada má konečný součet, S= 11,11111111111111111 . Jinak řečeno Achilles dohoní želvu přesně po 11 a 1/9 metrech.

Zdroje a další informace

• - Zeno's paradoxes
• - Kieth Devlin: Jazyk matematiky, Dokořán, Argo, 2002