Na začátku 17. stol. studoval zajímavý problém francouzký mnich Marin Mersenne. Ve své knize Cogitata Physica-Mathematica tvrdil, že čísla tvaru Mn=2n-1 jsou prvočísly pro n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, kdežto všechna další Mn pro n <257 jsou čísla složená. Nikdo neví, jak na tento objev přišel, ale příliš se nezmýlil. V roce 1947 bylo pomocí prvních počítačů zjištěno pouze 5 Mersennových chyb: M67 a M257 nejsou prvočísla a naopak M61, M89 a M107 jsou prvočísla.
Čísla Mn se nazývají Mersennova čísla. Nutnou, ale nikoliv postačující podmínkou pro prvočíselnost Mn je, aby n samo bylo prvočíslo . Příklady známých Mersennových prvočísel: M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127, M13 = 8191, ...
Pro Mersennova čísla, na rozdíl od prvočísel v obecném tvaru, existuje velmi efektivní prvočíselný test - Lucas-Lehmerův test. Byl objeven v roce 1870 Lucasem a zdokonalem v roce 1930 Lehmerem. Jeho podstata:
V současnosti se již podařilo nalézt 44 Mersennových prvočísel, poslední prvočíslo 232582657-1 má 9808358 číslic! Bylo získáno v rámci projektu GIMPS.
Žádné komentáře:
Okomentovat