Počet reálných kořenů polynomu

V jednom z minulých článků jsem popsal metodu, jak určit hranice kořenů polynomu. Touto metodou jsme získali mezikruží v rovině komplexních čísel, kde leží všechny kořeny daného polynomu. Pokud bychom chtěli zjistit počet reálných kořenů, musíme použít jinou speciální metodu, která se nazývá Sturmova metoda. Její princip vysvětlím na následujícím příkladě:

Určeme počet reálných kořenů polynomu:
Základem této metody je konstrukce tzv. Sturmovy posloupnosti, která má n+1 členů (n je stupeň polynomu). Konstrukce je následující: Jako první člen posloupnosti zvolíme zadaný polynom, tedy , (záporně vzatá derivace),
kde rem je zbytek po dělení dvou polynomů. Poslední člen posloupnosti je konstanta, pokud by byla nulová, pak to nutně znamená, že zadaný polynom má vícenásobné kořeny - řešením je provést dělení zadaného polynomu P největším společným dělitelem polynomů P a P'; takovýto polynom bude mít ty samé kořeny jako P, ale všechny jednoduché.

V našem příkladě vychází Sturmova posloupnost takto:

Počet reálných kořenů v nějakém intervalu [a,b] je pak roven W(b)-W(a), kde W(x) představuje počet znaménkových změn v Sturmově posloupnosti, kde jednotlivé členy jsou vyčísleny v bodě x (nuly jsou z této posloupnosti vyškrtnuty). Tedy spočítáme hodnoty polynomů Sturmovy posloupnosti v bodech b a a, spočítáme znaménkové změny (např:+,-,+,+ jsou 2 znam. změny) a počet znaménkových změn odečteme.
Nyní můžeme spočítat počet reálných kořenů našeho polynomu P v libovolném intervalu. Spočítáme hodnoty polynomů P₀, P₁, P₂ a P₃ v krajních bodech daného intervalu, a bude nás zajímat pouze znaménko, následně určíme počet znaménkových změn. Spočítejme hodnoty např. v bodech ±∞, 0, 1,2:

Vídíme, že W(∞)-W(-∞)=1, což znamená, že polynom P má právě jeden reálný kořen. Rozdíl W(∞)-W(0), který je roven 1, napoví, že má právě jeden kladný kořen, a konečně rozdílem W(2)-W(1) (=1) zjistíme, že tento kořen leží v intervalu [1,2].