neděle, dubna 27, 2008

Jak zjistit zda-li ma nekonečna řada součet nebo ne

V minulém příspěvku příspěvku jsme si zadefinovali konvergentní nekonečné řady. Na příkladu jsme si ukázali, jak lze spočítat součet geometrické řady. Konvergentní řady jsou po matematické stránce krásné. Splňují totiž některé vlastnosti, které platí pro součty konečně mnoha čísel:
  1. Mějme dvě řady, které mají nějaký svůj součet. Pak součet těchto dvou řad existuje a je roven součtu původních řad, tedy platí
  2. Podobně platí i analogie distributivního zákona:
V mnoha případech bývá u nekonečných řad velkým problémem spočítat jejich součet. Často nám ale stačí zjistit, zda tento součet existuje, tedy zda-li je řada konvergentní. Řešit tento problém pomocí definice konvergence nebývá obvykle zrovna pohodlné, lepší je použít tzv. kritéria konvergence, která představují postačující podmínky pro konvergenci. Kritérií konvergence je poměrně dost, každé se hodí pro jiný typ řady. Při vyšetřování otázky konvergence nekonečné řady ∑ an je nejlepší začít tím, že se podíváme zda nekonečná řada splňuje tzv. nutnou podmínku konvergence:
Pokud tento vztah neplatí, pak nekonečná řada je určitě divergentní. Naopak pokud tento vztah platí, pak nekonečná řada může, ale i nemusí konvergovat (např. harmonická řada
splňuje nutnou podmínku konvergence, ale přitom je divergentní. V dalším kroku použijeme některé z kritérií konvergence (pro jednoduchost budeme uvažovat pouze řady, které mají nezáporné členy, tedy ai≥0, kde i=1...∞), např.:
  1. Limitní srovnávací kritérium. K vyšetřované řadě ∑ an budu uvažovat nějakou jinou řadu ∑ bn, o které vím, že je konvergentní, či divergentní (např. harmonická řada - divergentní, nekonečná řada
    je konvergentní), pak spočítám limitu

    Nyní, je-li L<∞ a ∑ bn konverguje, pak i řada ∑ an konverguje. Naopak, je-li L>0 a ∑ bn diverguje, pak diverguje i řada ∑ an .

  2. Limitní odmocninové kritérium. Spočítáme limitu
    Je-li q<1, pak řada ∑ an konverguje, je-li q>1 pak řada diverguje a v případě kdy q=1 nelze o konvergenci řady pomocí tohoto kritéria rozhodnout.
  3. Limitní podílové kritérium. Spočítáme limitu
    Je-li q<1, pak řada ∑ an konverguje, je-li q>1 pak řada diverguje a v případě kdy q=1 nelze o konvergenci řady pomocí tohoto kritéria rozhodnout.
Podobných kritérií je daleko více, žádné z nich není ovšem univerzální, tedy použitelné pro všechny typy řad, přesto tyto tři patří mezi nejčastěji používané. Příklady na závěr: Zjistíme, zda jsou následující řady konvergentní či divergentní:
  1. Použijme limitní srovnávací kritérium. Jako druhou řadu zkusme použít harmonickou řadu a spočítejme limitu
    Tuto limitu spočítáme pomocí L'Hospitalova pravidla (nebo ji spočítáme na dobré kalkulačce, kde za n dáme nějaké velké přirozené číslo) a vyjde nám hodnota rovna pí (cca 3,14159), což je větší než 0 a proto diverguje i nekonečná řada ∑ sin(pi/n).
  2. Použijme např. limitní podílové kritérium, spočítejme limitu
    Protože 0<1, platí, že nekonečná řada
    n2/n! konverguje.

Linkuj! Přidej do záložek na Jagg! pošli na vybrali.sme.sk Návštěvní kniha

6 komentářů:

fremy řekl(a)...

Zajímavé a poučné. Přidávám do oblíbených, někdy se mi to bude určitě hodit.

Tomáš řekl(a)...

Chci tímto autorovi opravdu poděkovat, jelikož českých článků o matematice je v současné době žalostně málo.
Pokud bych však mohl připsat i nějaká doporučení:
Přijde mi tento článek trochu jako ekvivalence wikipedie. Celkovou strukturu sice oživují spočtené příklady, avšak ocenil bych takový více "otevřený konec", totiž jakožto partie matematické analýzy to není vůbec natolik průhledné, jak se může z tohoto článku jevit, tedy potěšily by mě nakonec nějaké příklady, poukazující na úskalí, která nás mohou potkat či některé problémové úlohy. Také by nebylo na škodu uvést některé netradiční postupy vyšetřování konvergence řad, např. pro často uváděnou "celebritu", tedy řadu SUM[1/p], kde p prochází přes všechna prvočísla.
Možností je mnoho..
A také bych ocenil trochu více komunikace se čtenáři, pokud to není v rozporu se zdejšími zažitými pravidly, ku příkladu by se mohl na konci objevit nějaký netriviální příklad, vyžadující buď použití několika metod či nějakou neotřelou fintu a tento předložen čtenářům (pokud tu nějací jsou) k následné diskusi.
Ale to vše spíše doporučení, než kritika.

Tomáš řekl(a)...

A také si nemohu odpustit rýpavou poznámku:
Nepředpokládám, že tento článek bude mít úroveň přednášky matematické analýzy, přesto si dovolím poznamenat jedno upřesnění, které, světe div se, nelze nalézt ani na takových stránkách jako jsou Mathworld či Wikipedia.
Jedná se o Limitní srovnávací kritérium.
Tedy uvažujme pouze řady s kladnými členy (bez pojmu Absolutní konvergence se poměrně těžko vysvětluje, proč členy se zápornými členy neuvažujeme).
Mějme dvě řady, SUM[a_n], SUM[b_n].
Úplná verze limitního srovnávacího kritéria má výhodu v tom, že dává odpověď pro všechny možné hodnoty oné limity L, L = LIM(a_n / b_n), n -> oo .

Pro 0 < L < oo platí:
SUM[a_n] konverguje <=> SUM[b_n] konverguje.

Pro L = 0 platí:
SUM[a_n] konverguje <= SUM[b_n] konverguje.

Pro L = oo platí:
SUM[a_n] konverguje => SUM[b_n] konverguje.

Věty o divergenci lze snadno odvodit pomocí obměn výše uvedených implikací.

Anonymní řekl(a)...

Konečně to někdo vysvětlil jako člověk, díky :-)

Anonymní řekl(a)...

Nejsou videt obrázky

Anonymní řekl(a)...

Nejsou vidět obrázky ale to nevadí, nic jako nekonečno neexistuje...

 

blogger templates | Make Money Online