Jak zjistit zda-li ma nekonečna řada součet nebo ne

V minulém příspěvku příspěvku jsme si zadefinovali konvergentní nekonečné řady. Na příkladu jsme si ukázali, jak lze spočítat součet geometrické řady. Konvergentní řady jsou po matematické stránce krásné. Splňují totiž některé vlastnosti, které platí pro součty konečně mnoha čísel:

1. Mějme dvě řady, které mají nějaký svůj součet. Pak součet těchto dvou řad existuje a je roven součtu původních řad, tedy platí

Podobně platí i analogie distributivního zákona:

V mnoha případech bývá u nekonečných řad velkým problémem spočítat jejich součet. Často nám ale stačí zjistit, zda tento součet existuje, tedy zda-li je řada konvergentní. Řešit tento problém pomocí definice konvergence nebývá obvykle zrovna pohodlné, lepší je použít tzv. kritéria konvergence, která představují postačující podmínky pro konvergenci. Kritérií konvergence je poměrně dost, každé se hodí pro jiný typ řady. Při vyšetřování otázky konvergence nekonečné řady ∑ a_n je nejlepší začít tím, že se podíváme zda nekonečná řada splňuje tzv. nutnou podmínku konvergence:

Pokud tento vztah neplatí, pak nekonečná řada je určitě divergentní. Naopak pokud tento vztah platí, pak nekonečná řada může, ale i nemusí konvergovat (např. harmonická řada

splňuje nutnou podmínku konvergence, ale přitom je divergentní. V dalším kroku použijeme některé z kritérií konvergence (pro jednoduchost budeme uvažovat pouze řady, které mají nezáporné členy, tedy a_i≥0, kde i=1...∞), např.:

1. Limitní srovnávací kritérium. K vyšetřované řadě ∑ a_n budu uvažovat nějakou jinou řadu ∑ b_n, o které vím, že je konvergentní, či divergentní (např. harmonická řada - divergentní, nekonečná řada
   

   je konvergentní), pak spočítám limitu

   

   Nyní, je-li L<∞ a ∑ b_n konverguje, pak i řada ∑ a_n konverguje. Naopak, je-li L>0 a ∑ b_n diverguje, pak diverguje i řada ∑ a_n .

2. Limitní odmocninové kritérium. Spočítáme limitu
   
   Je-li q<1, pak řada ∑ a_n konverguje, je-li q>1 pak řada diverguje a v případě kdy q=1 nelze o konvergenci řady pomocí tohoto kritéria rozhodnout.
3. Limitní podílové kritérium. Spočítáme limitu
   
   Je-li q<1, pak řada ∑ a_n konverguje, je-li q>1 pak řada diverguje a v případě kdy q=1 nelze o konvergenci řady pomocí tohoto kritéria rozhodnout.

Podobných kritérií je daleko více, žádné z nich není ovšem univerzální, tedy použitelné pro všechny typy řad, přesto tyto tři patří mezi nejčastěji používané. Příklady na závěr: Zjistíme, zda jsou následující řady konvergentní či divergentní:

1. 
   Použijme limitní srovnávací kritérium. Jako druhou řadu zkusme použít harmonickou řadu a spočítejme limitu
   
   Tuto limitu spočítáme pomocí L'Hospitalova pravidla (nebo ji spočítáme na dobré kalkulačce, kde za n dáme nějaké velké přirozené číslo) a vyjde nám hodnota rovna pí (cca 3,14159), což je větší než 0 a proto diverguje i nekonečná řada ∑ sin(pi/n).
2. 
   Použijme např. limitní podílové kritérium, spočítejme limitu
   
   Protože 0<1, platí, že nekonečná řada ∑ n²/n! konverguje.