Jak rychle spočítat hodnotu polynomu

Polynom, též mnohočlen se nejčastěji definuje jako Polynom patří mezi základní matematické funkce, neboť libovolná spojitá funkce lze libovolně přesně vyjádřit určitým polynomem. To nás v tuto chvíli nezajímá. Dále můžeme snadno definovat derivaci polynomu Polynom je tedy funkce, která obsahuje spoustu mocnin proměnné x, proto budeme-li chtít v nějakém bodě, řekněme a, spočítat hodnotu polynomu normálním způsobem, pak bychom museli do všech sčítanců dosadit za x dané číslo a, což může být značně pracné.

Tuto situaci značně usnadňuje tzv. Hornerovo schéma, které značně ulehčuje počítání hodnoty polynomu v libovolném bodě.
Polynom P(x) zapíšeme pomocí vytykání x v následujícím tvaru:

Zapíšeme-li pak poslední číslo c₀ představuje právě hodnotu polynomu P(x) v bodě x.

Příklad: Uvažujme následující polynom:

Spočítejme hodnoty polynomu pro x=2, x=3 a rovněž spočítejme hodnoty derivace polynomu pro tyto hodnoty. Výpočet bude probíhat v jakémsi tabulkovém schématu. Na první řádek napíšeme v přesném pořadí koeficienty polynomu. První políčko druhého řádku bude hodnota, ve které chceme spočítat hodnotu našeho polynomu, tedy 2, viz obrázek:

Dále opíšeme hodnotu prvního koeficientu (u nejvyššího členu), tedy 1. Další políčka v druhém řádku jsou jednotlivé výpočty, přičemž poslední, červeně označené číslo označuje hodnotu našeho polynomu, tedy P(2). K jednotlivým výpočtům se došlo takto:
2*1+2=4, 2*4+2=10, 2*10+3=23, 2*23+8=54 a 2*54+2=110.
Stejně tak na čtvrtém řádku probíhá výpočet P(3), P(3)=512. Na třetím a pátém řádku probíhají výpočty hodnot derivace polynomu pro x=2, resp. x=3, P'(2) a P'(3).
Pro výpočet P'(2) se použije jako záhlaví druhý řádek (1,4,10,23,54, tedy nepoužije se hodnota P(2) ) a postupuje se zcela analogicky, jednotlivé výpočty jsou:
1 (ta se opsala), 2*1+4=6, 2*6+10=22, 2*22+23=67 a 2*67+54=188.
A zcela analogicky probíhá na posledním řádku výpočet P'(3), P'(3) =701.

CoJeNového