Mezi nejdůležitější matematické konstanty patří
e, která se někdy nazývá
Eulerova či
Napierova konstanta. Matematika sice neobsahuje tolik význačných konstant jako fyzika, ale její konstanty jsou často pilířem určité ucelené teorie - např. imaginární jednotka
i pro terorii komplexních čísel, 0 a 1 pro aritmetiku, či Ludolfovo číslo π pro geometrii.
Konstanta
e, jejíž přibližná hodnota je 2,718281828459045235360287471352, se často definuje jako takové jediné reálné číslo
a s vlastností, že funkce
ax má hodnotu směrnice tečny v bodě 0 rovnu 1. První odkazy na tuto konstantu se objevují v roce 1618 v práci o logaritmických funkcích Johna Napiera. V této práci byla příloha, která obsahovala tabulku různých konstant a funkčních hodnot přirozených logaritmů. Ale samotný "objev" této konstanty se přisuzuje Jacobu Bernoullimu, který se zabýval výpočtem limity
neboť jak se ukázalo, tato limita se rovná právě Napierově konstantě. Éčko se pro tuto konstantu používá od roku 1736, kdy
Leonhard Euler publikoval
svoji práci
Mechanica.
Podívejme se nyní na důkaz, že výše uvedená limita existuje a je rovna
e. V důkazu využijeme známé nerovnosti mezi geometrickým a aritmetickým průměrem:
Dokažme nejprve, že posloupnost {1+1/
n}
n (n=1,...,∞) je
rostoucí1:
Dále dokážeme, že posloupnost {1+1/
n}
n je
shora omezená.
Ještě lze dokázat, že poslední suma je menší nebo rovna 3. Nyní již víme, že naše zkoumaná posloupnost má limitu
e a pro tuto limitu platí, že je menší nebo rovna výše uvedené sumě. Pokud dokážeme, že platí i obrácená nerovnost, pak získáme vztah pro numerický výpočet Eulerovy konstanty.
Zvolme
m,
n ∈
N,
m ≤
n a rozepišme podobně jako výše výraz
a nyní limitním přechodem pro
n → ∞ dostaneme pro každé
m ∈
N
Provedeme-li další limitní přechod
m → ∞ dostaneme
Celkem tedy platí
a snadno si můžeme pomocí součtu několika prvních členů výše uvedené nekonečné řady ověřit, že
e=2,718281.....
Eulerova konstanta má spoustu zajímavých vlastností a aplikací, o tom ale příště.
Poznámky
- to platí tehdy, když pro všechny členy posloupnosti platí, že následující člen je větší než předcházející člen.
