Jak zjistit zda-li ma nekonečna řada součet nebo ne

V minulém příspěvku příspěvku jsme si zadefinovali konvergentní nekonečné řady. Na příkladu jsme si ukázali, jak lze spočítat součet geometrické řady. Konvergentní řady jsou po matematické stránce krásné. Splňují totiž některé vlastnosti, které platí pro součty konečně mnoha čísel:

1. Mějme dvě řady, které mají nějaký svůj součet. Pak součet těchto dvou řad existuje a je roven součtu původních řad, tedy platí

Podobně platí i analogie distributivního zákona:

V mnoha případech bývá u nekonečných řad velkým problémem spočítat jejich součet. Často nám ale stačí zjistit, zda tento součet existuje, tedy zda-li je řada konvergentní. Řešit tento problém pomocí definice konvergence nebývá obvykle zrovna pohodlné, lepší je použít tzv. kritéria konvergence, která představují postačující podmínky pro konvergenci. Kritérií konvergence je poměrně dost, každé se hodí pro jiný typ řady. Při vyšetřování otázky konvergence nekonečné řady ∑ a_n je nejlepší začít tím, že se podíváme zda nekonečná řada splňuje tzv. nutnou podmínku konvergence:

Pokud tento vztah neplatí, pak nekonečná řada je určitě divergentní. Naopak pokud tento vztah platí, pak nekonečná řada může, ale i nemusí konvergovat (např. harmonická řada

splňuje nutnou podmínku konvergence, ale přitom je divergentní. V dalším kroku použijeme některé z kritérií konvergence (pro jednoduchost budeme uvažovat pouze řady, které mají nezáporné členy, tedy a_i≥0, kde i=1...∞), např.:

1. Limitní srovnávací kritérium. K vyšetřované řadě ∑ a_n budu uvažovat nějakou jinou řadu ∑ b_n, o které vím, že je konvergentní, či divergentní (např. harmonická řada - divergentní, nekonečná řada
   

   je konvergentní), pak spočítám limitu

   

   Nyní, je-li L<∞ a ∑ b_n konverguje, pak i řada ∑ a_n konverguje. Naopak, je-li L>0 a ∑ b_n diverguje, pak diverguje i řada ∑ a_n .

2. Limitní odmocninové kritérium. Spočítáme limitu
   
   Je-li q<1, pak řada ∑ a_n konverguje, je-li q>1 pak řada diverguje a v případě kdy q=1 nelze o konvergenci řady pomocí tohoto kritéria rozhodnout.
3. Limitní podílové kritérium. Spočítáme limitu
   
   Je-li q<1, pak řada ∑ a_n konverguje, je-li q>1 pak řada diverguje a v případě kdy q=1 nelze o konvergenci řady pomocí tohoto kritéria rozhodnout.

Podobných kritérií je daleko více, žádné z nich není ovšem univerzální, tedy použitelné pro všechny typy řad, přesto tyto tři patří mezi nejčastěji používané. Příklady na závěr: Zjistíme, zda jsou následující řady konvergentní či divergentní:

1. 
   Použijme limitní srovnávací kritérium. Jako druhou řadu zkusme použít harmonickou řadu a spočítejme limitu
   
   Tuto limitu spočítáme pomocí L'Hospitalova pravidla (nebo ji spočítáme na dobré kalkulačce, kde za n dáme nějaké velké přirozené číslo) a vyjde nám hodnota rovna pí (cca 3,14159), což je větší než 0 a proto diverguje i nekonečná řada ∑ sin(pi/n).
2. 
   Použijme např. limitní podílové kritérium, spočítejme limitu
   
   Protože 0<1, platí, že nekonečná řada ∑ n²/n! konverguje.
   

Větrná energetika v Česku, aneb lobbing zatím vyhrává

V poslední době zažívá Česká republika nebývalý boom ve větrné energetice. Celkový instalovaný výkon, tedy výkon maximálně dosažitelný, přesáhl v tomto roce 112 MW (jeden dukovanský blok VVER 440 má výkon 440MW při menším záběru půdy...), a to převážně díky neuvěřitelnému lobbingu energetických firem.

Jistě větrné elektrárny jsou při vlastním procesu výroby energie čisté, tedy neprodukují žádné emise a odpad, ale je nutné je stavět ve velkém počtu, a tím pádem zabírají velkou plochu v krajině. Většina malých vesnic, např. na Jižní Moravě (Břežany, Pavlov), nabídku od lobbistických firem na možnou instalaci větrných elektráren neodmítnou, protože tak získají nemalé peníze do rozpočtu obce.

Stavba větrných elektráren by měla být konzultována s odborníky, kteří vytvářejí tzv. větrné mapy. Nejlepší podmínky pro větrné elektrárny (VE) mají státy, které mají dlouhé mořské pobřeží. U nás je vhodných míst poměrně málo - v úvahu přicházejí oblasti s nadmořskou výškou vyšší než 650 m, které jsou ovšem často zahrnuty do různých chráněných oblastí. V ČR se tedy pro stavbu VE hodí nejvíce zejména oblast Krušných hor, Jižní Morava podstatně méně.

Mezi největší limitující faktory VE patří pronikavá závislost výkonu na rychlosti větru. Výkon VE závisí na třetí mocnině rychlosti větru, což znamená, že malé změny v rychlosti větru vyvolají velké změny ve výkonu elektrárny. VE proto pro svou činnost potřebují ideální povětrnostní podmínky - vítr nesmí být ani slabý, ani příliš silný, proto často bývá využíváno jen několik málo procent potenciálního výkonu.

Tato skutečnost je vyjádřena tzv. koeficientem ročního využití, který se vypočítá jako poměr roční vyrobené energie a maximálně dosažitelné roční energie.

Podle Českého statistického úřadu dosáhl koeficient ročního využití v roce 2005 pouze 11%, z toho lze vidět, že většina VE je postavena v nevyhovujících lokalitách. Např. větrná farma Sternwald na rakousko-českých hranicích ve východní části Šumavy dosáhla se svými 7 větrnými elektrárnami o instalovaném výkonu 14 MW koeficientu ročního využití za první 4 měsíce roku 2007 32,3 % (přičemž po zbytek téhož roku to bylo necelých 20%)

Výkon VE je velmi proměnlivý, o tom mohou vyprávět naši němečtí sousedé, kde je instalováno podstatně více VE. Německo proto často čelí prudkým výkyvům okamžitě dostupné elektrické energie. Když zrovna vane čerství vítr, pak mají elektřiny nadbytek, zato když panuje bezvětří tak ji mají málo. S tím souvisí základní problém energetiku, a to, že elektrická energie se špatně skladuje. Pokud by se tento problém u VE podařilo překonat, pak se mohou stát i v našich podmínkách větrné elektrárny významným prvkem v energetické soustavě naší republiky.

Na závěr stručný přehled některých výhod a nevýhod VE

Výhody

1. žádné emise a odpad při výrobě energie
2. nulová spotřeba fosilních paliv během výroby elektřiny
3. půdu kolem větrníků lze obdělávat

Nevýhody

1. Nelze je instalovat všude
2. Činnost strojové elektrárny vždy vytváří určitý hluk
3. Příliš malý výkon na jednotlivý větrník, s čímž souvisí příliš velký záběr půdy
4. VE mohou produkovat vibrace, které se mohou projevit vznikem prasklin ve zdech domů
5. V horských oblastech se na VE v chladnějších částech roku tvoří námrazy, které ohrožují okolí
6. Vliv na životní podmínky ptáků a létajících savců (hluk+přímý kontakt s rotory)
7. Kvůli výšce až 150 m tvoří nepřehlédnutelnou dominantu krajiny
8. Průměrná cena vyrobené energie v Evropě je asi 3 krát vyšší než cena energie vyrobené klasickými či jadernými elektrárnami

Zdroje a další informace cs.wikipedia.org, aktualne.cz (1,2)