Velmi často se v matematice a dalších přírodních vědách dostaneme do situace, kdy potřebujeme nalézt kořeny nějakého polynomu. Polynomem budeme rozumět výraz

Polynom (mnohočlen) má jednu velmi hezkou vlastnost: v každém bodě uzavřeného intervalu je
spojitý. Uvažujme polynom

Nalezněme všechny jeho reálné kořeny. Nejprve určeme intervaly, kde se kořeny mohou nacházet, viz minulý
příspěvek. Platí: A=10, B=10 (
ξk, k=1,2,3 jsou kořeny)

Tedy kořeny našeho polynomu mohou ležet pouze ve dvou intervalech: I1= [-11,4/9] nebo I2=[4/9,11]. Nyní se budeme snažit najít nějaký menší podinterval intervalu I1 nebo I2, kde leží nějaký kořen. Spočítáme pak pomocí
Hornerova schématu hodnoty polynomu v krajních bodech uvažovaného podintervalu a pokud bude platit, že hodnoty polynomu v krajních bodech mají opačná znaménka, pak máme jistotu, že v uvažovaném intervalu leží alespoň jeden kořen.
Spočítejme např. hodnoty polynomu v -4,-3,-2,-1 a 0.4444, 1.4444, 2.4444 a 3.4444, vyjde

a

Odsud vyplývá, že -4 je jedním z kořenů, neboť P(-4)=0. Dále vidíme, že hodnota polynomu na 0.4444 je kladná a na 1.4444 je záporná, takže v intervalu [0.4444 , 1.4444] musí ležet kořen a podobně i v intervalu [1.4444 , 2.4444] leží také kořen. Nyní můžeme použít nějakou numerickou metodu. Pro polynomy je vhodná zejména Newtonova metoda. Newtonova metoda se zapisuje ve tvaru

Tedy
Newtonova metoda generuje posloupnost
x0,
x1,
x2, ..., která za určitých předpokladů (funkce je spojitá na daném intervalu, který je dostatečně malý a má zde kořen a spojité
derivace až do druhého řádu) konverguje k přesné hodnotě kořene polynomu.
Newtonova metoda se také nazývá metoda tečen, neboť
xk+1 představuje průsečík tečny polynomu P (na obrázku je obecná funkce
f) v vodě
xk s osou
x. Viz Obrázek (
x0 je počáteční aproximace,
x1 je náš průsečík, ve kterém se sestrojí další tečna)

Zkusme vypočítat Newtonovou metodou přibližnou hodnotu kořene našeho polynomu uvnitř intervalu [0.4444 , 1.4444]. Jako počáteční aproximaci zvolme levý krajní bod intervalu tedy
x0 = 0.4444, další aproximace je rovna

a další aproximace:
x2 = 0.9928,
x3 = 1.0000 a
x4=1.0000. Dosazením 1 do předpisu polynomu P zjistíme, že 1 je skutečně kořen. Zcela analogicky zjistíme, že kořenem je i 2.
Newtonova metoda (pro polynomy) vytváří posloupnost, která
konverguje k přesné hodnotě kořene, za předpokladu dobře zvolené počáteční aproximace. Za počáteční aproximaci, se volí nejčastěji krajní bod nějakého malého intervalu [
a,b] pro který platí :
P(a) · P(b) < 0, tedy hodnoty polynomu v krajních bodech mají opačná znaménka.
