Nalezení hodnot kořenů polynomu

Velmi často se v matematice a dalších přírodních vědách dostaneme do situace, kdy potřebujeme nalézt kořeny nějakého polynomu. Polynomem budeme rozumět výrazPolynom (mnohočlen) má jednu velmi hezkou vlastnost: v každém bodě uzavřeného intervalu je spojitý. Uvažujme polynom

Nalezněme všechny jeho reálné kořeny. Nejprve určeme intervaly, kde se kořeny mohou nacházet, viz minulý příspěvek. Platí: A=10, B=10 ( ξ_k, k=1,2,3 jsou kořeny)

Tedy kořeny našeho polynomu mohou ležet pouze ve dvou intervalech: I1= [-11,4/9] nebo I2=[4/9,11]. Nyní se budeme snažit najít nějaký menší podinterval intervalu I1 nebo I2, kde leží nějaký kořen. Spočítáme pak pomocí Hornerova schématu hodnoty polynomu v krajních bodech uvažovaného podintervalu a pokud bude platit, že hodnoty polynomu v krajních bodech mají opačná znaménka, pak máme jistotu, že v uvažovaném intervalu leží alespoň jeden kořen.

Spočítejme např. hodnoty polynomu v -4,-3,-2,-1 a 0.4444, 1.4444, 2.4444 a 3.4444, vyjde

aOdsud vyplývá, že -4 je jedním z kořenů, neboť P(-4)=0. Dále vidíme, že hodnota polynomu na 0.4444 je kladná a na 1.4444 je záporná, takže v intervalu [0.4444 , 1.4444] musí ležet kořen a podobně i v intervalu [1.4444 , 2.4444] leží také kořen. Nyní můžeme použít nějakou numerickou metodu. Pro polynomy je vhodná zejména Newtonova metoda. Newtonova metoda se zapisuje ve tvaru

Tedy Newtonova metoda generuje posloupnost x⁰, x¹, x², ..., která za určitých předpokladů (funkce je spojitá na daném intervalu, který je dostatečně malý a má zde kořen a spojité derivace až do druhého řádu) konverguje k přesné hodnotě kořene polynomu.

Newtonova metoda se také nazývá metoda tečen, neboť x^k+1 představuje průsečík tečny polynomu P (na obrázku je obecná funkce f) v vodě x^k s osou x. Viz Obrázek (x⁰ je počáteční aproximace, x¹ je náš průsečík, ve kterém se sestrojí další tečna)Zkusme vypočítat Newtonovou metodou přibližnou hodnotu kořene našeho polynomu uvnitř intervalu [0.4444 , 1.4444]. Jako počáteční aproximaci zvolme levý krajní bod intervalu tedy x⁰ = 0.4444, další aproximace je rovna


a další aproximace: x² = 0.9928, x³ = 1.0000 a x⁴=1.0000. Dosazením 1 do předpisu polynomu P zjistíme, že 1 je skutečně kořen. Zcela analogicky zjistíme, že kořenem je i 2.

Newtonova metoda (pro polynomy) vytváří posloupnost, která konverguje k přesné hodnotě kořene, za předpokladu dobře zvolené počáteční aproximace. Za počáteční aproximaci, se volí nejčastěji krajní bod nějakého malého intervalu [a,b] pro který platí : P(a) · P(b) < 0, tedy hodnoty polynomu v krajních bodech mají opačná znaménka.

Klimatické změny a kosmické zákonitosti

V současné době média věnují neuvěřitelný prostor novému fenoménu - tzv. globálnímu oteplování. Média a většina klimatologů tvrdí, že s velkou pravděpodobností je jisté, že za to může člověk. No dobře, člověk může za spoustu věcí, ale v porovnání s přírodou a vesmírem je velmi malým faktorem.

Mezi největší klimatické změny na naší planetě patřily bezesporu doby ledové, tzv. glaciály spjaté s rozmachem studeného a chladného klimatu, kdy např. ledovce expandovaly v Severní Americe až k 40. rovnoběžce. Ledové doby zpočátku trvaly asi 40 tisíc let, ale v době před jedním milionem let se prosazuje cyklus, jehož ledová doba trvá v průměru 100 tisíc let a meziledová doba asi 20 tisíc let. Za těmito klimatickými změnami určitě nestál člověk, ale pravidelné kosmické zákonitosti.

Zemské klima dlouhodobě závisí především na množství energie, které získá ze slunečního záření a dále taky na skleníkovém efektu (bez sklenikového efektu by nikdy nevznikl inteligentní suchozemský život). Množství získané sluneční energie, jak ukázal srbský geofyzik Milutin Milankovič, závisí na parametrech dráhy Země kolem Slunce, které se v čase mění.

Základní klimatické cykly:

1. Sklon zemské osy se mění v periodě 40 tisíc let v rozmezí až 21,8 – 24,4° a snižuje se o polovinu úhlové vteřiny (0,00013°) za rok. Maxima dosáhl před 10 tisíci lety. Má vliv na pozici polárních kruhů a tropických obratníků. Cyklus 40 tisíc let je charakteristický pro teplé a chladné oscilace svrchního pliocénu a starého pleistocénu před 2,5 – 1 milionem let.
2. Země obíhá kolem Slunce po eliptické dráze, jejíž excentricita (výstřednost) se mění od nuly (kruhová dráha) do 0,06 v cyklu necelých 100 tisíc let. V průběhu posledních 100 tisíc let dosahovala excentricita hodnotu 0,02 nebo méně. Současná hodnota je 0,0167 a maximum 0,019 dosazené před 10 tisíci lety bylo velmi nízké. Podstatná maxima se odehrávala před 110, 200, 300, 600, 700 a 960 tisíci lety. Menší maxima před 400, 500, 800 a 880 tisíci lety. Stotisícový klimatický cyklus ovládá klima posledního milionu leta přehlušuje důležitější čtyřicetitisícový cyklus, pravděpodobně proto, že ledovce narostly do takových rozměrů, že teplotní setrvačnost systému potlačila kratší cyklus. Při vysoké excentricitě je sezónní rozdíl v množství sluneční energie mezi perihelionem a aphelionem až 30 %, v současné době dosahuje asi 7 %, při kruhové dráze je nulový.
3. Třetí cyklus, precese, se odehrává v cyklech přibližně 19 a 21 tisíc let. Důležité je, že každá světová šířka reaguje poněkud odlišně na každý ze tří základních Milankovičových parametrů. Např. hladiny jezer na Sahaře nejvíc reagují na precesní cyklus přibližně 21 tisíc let, zatímco severský ledovec je řízen nejdelším cyklem.
   

Sklon Zemské osy a Precese















Zdroje a další informace
www.vesmir.cz ; en.wikipedia.org ; Doba ledová

Seznamte se, Apophis

Neexistuje asi období v novodobých dějinách, ve kterém by si média nevybrala určitou katastrofickou vizi, o které by pořád dokola referovali, že určitě kvůli ní lidstvo zanikne či bude mít obrovské problémy. Dnes média varují především před globálním oteplováním. Před několika stoletími varovaly například před jedovatými plyny, které byly objeveny v chvostu komet, a před devíti lety bylo v módě varovat před srážkou s asteroidem (vzpomeňme na filmovou úrodu z roku 1998 - Drtivý dopad a Armageddon). Faktem je, že o určitém nebezpečí pocházejícího od planetek či komet není na rozdíl od tzv. antropogenního globálního oteplování pochyb. Je totiž stoprocentně dokázáno, že naše planeta byla v minulosti zasažena (např 1908, před 65 mil lety,...), kdežto 100% vliv člověka na klimatické změny nebyl (a myslím, že ani nebude) prokázán.

Devatenáctého června to budou tři roky, co R.Tucker a spol. objevili na observatoři Kitt Peak planetku, která později dostalo jméno Apophis (řecký název staroegyptského boha Apep). Objev této planetky opět vzbudil zájem médií, neboť první výpočty parametrů dráhy nevylučovali srážku v roce 13. Dubna 2029.
Pravděpodobnost srážky této 410metrové planetky byla bezprostředně po objevu stanovena na 1,6 % a riziko srážky bylo kvalifikováno stupněm 4 na desetistupňové Turínské stupnici. Postupem času se ukázalo, že srážka nehrozí. Výpočty na základě údajů z radioteleskopu v Arecibu, ukázaly, že v roce 2009 planetka mine Zemi asi o 36802 km. I tak planetka Apophis zůstane na hodotě 1 v Turínské stupnici - astronomové ji budou dál sledovat (další možná srážka, pravděpodobněji velké přiblížení bude i v roce 2036; celková energie srážky by byla asi 4 větší než celková energie erupce sopky Krakatoa).
Nebezpečí z vesmíru je zjevné. Některé planetky se značně přibližují k dráze naší planety, či ji dokonce kříží (blízkozemní planetky - NEO), přesto se drtivá většina asteroidů se nachází mezi Marsem a Jupiterem. Otázkou je, proč se některé asteroidy vydají na cestu do vnitřních částí sluneční soustavy. Pravděpodobně nejčastější příčinou je největší planeta, Jupiter.
Planetky nejsou ve svém hlavním pásu výskytu rozloženy rovnoměrně, určité vzdálenosti od Slunce jako by byly zakázané - Kirkwoodovy mezey, viz Obrázek.

Oběžná doba planety Jupiter, největší planety sluneční soustavy, kolem Slunce je 11,862 pozemského roku. Planetka, která stihne kolem Slunce oběhnout dvakrát, třikrát nebo čtyřikrát rychleji, by se měla nacházet právě v zakázaných oblastech (Kirkwoodovy mezery). Ale není tam. Vysvětlení se nabízí samo. Pokud se planetka s planetou setkává pravidelně na nějakém místě dráhy, je pravidelný i gravitační vliv planety. Ať už je ten vliv jakýkoli, působí opakovaně vždy na stejném místě dráhy a planetka mu snadno podlehne. Jupiter tak všechna tělesa s rezonancí 2:1, 3:1 nebo 4:1 (poměry oběžných dob) vytlačí z určitého prostoru a planetky buď spadnou na Slunce, nebo začnou křížit dráhu Země či Marsu. Samotný tvar pásu planetek mezi Marsem a Jupiterem je ovlivněn rezonancemi. Pás má spíše tvar prstýnku, přičemž jeho hranice nejbližší ke Slunci je omezena rezonancí 4:1 a hranice nejvzdálenější od Slunce rezonancí 2:1. Stejně tak uprostřed prstence v rezonanci 3:1 se planetky nenachází.

Právě rezonančnímu vlivu Jupitera je přisuzována existence planetek křižujících dráhu Země, tzv. blízkozemních. Planetky by z blízkosti Země totiž už dávno samovolně vymizely. Ukazuje se, že typická životní doba meteoroidů či planetek na dráhách křížících dráhy planet je nejvýše několik desítek milionů let. Takže za dobu existence sluneční soustavy 4,5 miliardy let by byla populace takovýchto těles dávno zničena. Země by doslova vymetla své okolí. Protože dnes lze stále na obloze pozorovat meteory a blízkozemní planetky, soudí astronomové logicky, že tato tělesa musí být odněkud průběžně doplňována.

A obrana před asteroidy? Především včasně odhalení nebezpečí. V současné době se vážněji začíná uvažovat o využití laserů jako zbrani proti asteroidům.

Zdroje a další informace
wikipedie, http://en.wikipedia.org/wiki/Kirkwood_gaps ;

Začátek vlády Raptora

Už je to dva a půl roku, co byla na základě objednávky amerických vzdušných sil oficiálně zahájena plná sériová výroba bojových letounů F-22 Raptor. Na začátku tohoto roku získalo americké letectvo již 82 letoun tohoto typu.
Předpokládá se, že se za rok vyrobí asi 35 letounů. Každý letoun přijde asi na 400 mil. USD. Kvůli vysoké ceně se asi nevyrobí více než 200 letounů.

Letoun F-22 Raptor je určen především k vybojování a udržení nadvlády ve vzduchu a pro plnění přepadových úkolů v rámci protivzdušné obrany v podmínkách 21. století. Americké vojenské letectvo požaduje schopnost druhotného využití v pozdějších fázích konfliktů jako dálkového neviditelného bombardovacího letounu stealth zejména proti významným pozemním objektům a cílům. S tím je spojen požadavek vyzbrojení letounu moderními druhy přesných zbraní, jako jsou chytré pumy JDAM či SDB s inerciálním a GPS naváděnim. Počet nesených zbraní, viz obrázek.

Raptor je mimořádně obratný. Raptor zvládá technologii supercruise (let nadzvukovou rychlostí bez použití přídavného spalování) za kterou vděčí dvěma motorům F119-PW-100, které mají dvojrozměrné vektorování tahu - 20 stupňů nahoru a dolů. Schopnost měnit vektor tahu motoru umožňuje manévry, které není normální letoun schopen provést. Jeho manévrovací schopnosti se tak vyrovnají i ruské nejmodernější stíhačce Su-37.

Bojové schopnosti Raptora se často vyjadřují jako "first-look, first-shot, first-kill". Avionika je založena na moderním radaru An/APG-77 typu AESA. Tento typ radaru se skládá z mnoha aktivních prvků, umí sledovat velké množství cílů naráz na velkou vzdálenost a navádět na ně rakety AIM-120 AMRAAM, které mají aktivní radarové navádění (pilot se po odpálení nemusí o ně tolik starat, může jich odpálit víc; raketa si může během letu opravit souřadnice cíle, ke kterému letí řízená vlastním autopilotem, v koncové fázi letu si raketa spustí svůj aktivní radar a zaměří se definitivně na cíl).

Rakety AMRAAM jsou během letu schovány v pumovnici. Celkem má Raptor 3 pumovnice. Ve dvou šachtách na bocích mohou být umístěny tepelně naváděné rakety krátkého doletu AIM-9X Sidewinder. V trupové pumovnici může být umístěno až 6 raket AMRAAM. Bojový dosah těchto raket je utajován. Odhaduje se na minimálně 180 km (verze AIM-120D, speciálně upravená pro instalaci uvnitř pumovnice), tedy dosahem se vyrovná legendární střele AIM-54 Phoenix, která byla spjatá s námořním stíhačkou F-14 Tomcat (dnes již přestává sloužit, je nahrazován Superhornetem).

Odpálení střel Amraam a Sidewinder:








V konstrukci letounu je vidět uplatnění mnoha prvků technologie Stealth, především zmenšení efektivní odrazové plochy (RCS) , kterou mohou "vidět" nepřátelské radary. Toho je dosaženo např. pomocí
- lichoběžníkových nasávacích otvorů,
- zakrytím lopatek dmychadel trupem letadla,
- nesením zbraní ve vnitřních pumovnicích,
- zubatých tvarů povrchů, které se mohou otevírat (krycí sklo pilotní kabiny, dveře pumovnic)

Taktická výhoda Raptora Technologie stealth zaručuje, že pravděpodobnost, že ho cizí radary zachytí je velmi malá (nepředpokládá se, že by se Raptor přiblížil k nepřátelskému letounu blíž než na 50 km). Raptor také bude používat svůj aktivní radar co nejméně, tedy, když nic nevysílá a tedy nevyzařuje žádné signály, není nic, co by ho prozrazovalo, ve které poloze se nachází. Ale i tak, je Raptor schopen se plně zapojit do vzdušného boje. Jak? F-22 Raptor je schopen přijímat aktuální data o vzdušné situaci z jiných vnějších zdrojů, jako např. z létajícího střediska řízení a uvědomování systému AWACS, bezpilotních prostředků, např. Global Hawk, průzkumných a spojovacích družic a data z dalších radarů ve vzduchu a na zemi. Tato taktická data poskytují pilotovi letounu F/A-22 informace o tom, kde se letouny protivníka nacházejí a letoun F/A-22 je může využít k tomu, aby je sestřelil střelami AIM-120 AMRAAM.




Reportáž - rozmísťování prvních letounů na základně Langley ve Virginii.

Zdroje a další informace:
www.vojsko.net, www.military.cz, www.military.cz, www.f22-raptor.com, wikipedia, www.fas.org, www.globalsecurity.org, www.valka.cz, supermanévrovatelnost

Hledání kořenů polynomu

V minulém příspěvku jsem ukázal, jak efektivně spočítat hodnotu polynomu. Nyní se zaměříme na kořeny polynomů. Kořenem polynomu rozumíme takové x, že platí P(x)=0. Polynomem stupně n budeme rozumět výraz kde koeficienty jsou reálná čísla. Polynom stupně n může mít nejvýše n reálných kořenů ( v komplexním oboru jich má přesně n, což je důsledek Základní věty algebry; např. polynom x²-2x+1 má kořeny 1, 1 (dvojnásobný kořen se chápe jako dva různé kořeny). Chápeme-li polynom jako reálnou funkci reálné proměnné, pak kořen polynomu představuje takový bod na ose x, kde polynom jako křivka protíná osu x.

Kořeny polynomů se dají určit dvěma způsoby. Buď použijeme explicitní vzorce (jako např. pro polynom druhého st. - známé vzorce pro kvadratickou rovnici) nebo využijeme nějaké numerické metody. Druhý způsob je univerzálnější, neboť vzorce pro nalezení kořenů polynomů existují pouze pro polynomu nejvýše 4. stupně (objev geniálního norského matematika Abela, a i tak s výjimkou polynomu prvního a druhé stupně jsou značně složité, viz Cardanovy vzorce).

Vhodných numerický metod je více, o nich bude řeč příště. Pro použití numerických metod je dobré znát hranice kořenů, tedy intervaly na reálné ose, kde se mohou vyskytnout.

Označme kde a_k , k=0,1,..., n, a₀a_n ≠ 0, jsou koeficienty polynomu P, Pak pro všechny jeho kořeny ζ_k platí


Příklad. Chceme určit hranice reálných kořenů polynomu

Určíme A, B : A = max(10, 1, 1, 3, 8, 2 ) = 10, B = max(1, 1, 3, 8, 2, 1) = 8, a proto
To znamená, že reálné kořeny leží ve sjednocení intervalů (-11,-5/9) a (5/9,11). Použijeme-li nějaký počítačový program na výpočet kořenů, můžeme si náš výsledek ověřit - náš polynom má následující kořeny (pouze 3. a 4. kořen je reálný) :

Co dělat, až nastane konec levné ropy?

Snad nikdo nevěří tomu, že zásoby ropy jsou nevyčerpatelné. Z toho vyplývá otázka, kolik vlastně onoho černého zlata zbývá. Touto problematikou se zabýval americký geolog Marion King Hubbert, který v roce 1956 představil svoji teorii ropného
vrcholu, která předpokládá, že zdroje ropy nejsou obnovitelné a říká, že její těžba v okamžiku, kdy bude vytěžena přibližně polovina světových zásob, musí dosáhnout svého vrcholu a poté začne klesat. Podle této teorie časová křivka spotřeby ropy má tvar zvonovité křivky, která se nazývá Hubbertova křivka. Podle této teorie, v čase po ropném vrcholu ropa náhle nedojde, ale její těžba se bude postupně snižovat a následně bude razantně stoupat její cena. Někdy v budoucnu nás čeká Konec levné ropy...

... a začne se vyplácet zpracovávat tzv. alternativní zdroje ropy. Mezi alternativní ropy patří především bituminózní (dehtovitý) písek a ropné břidlice. Největší naleziště bituminózního písku v Kanadě představuje alternativu 1,6 biliónu barelů ropy, tedy množství, které převyšuje všechny ostatní světové zásoby běžné surové ropy. Bituminózní písek ovšem není pravá ropa, jde o její zbytek z doby, kdy se vytvářela.

Ne všechen kanadský bitumen lze ale vytěžit. Odhaduje se, že lze reálně vytěžit asi 174 mld barelů. Po započítání tohoto zdroje do celkových kanadských ropných rezerv se Kanada dostane na druhé místo v žebříčku na ropu nejbohatších zemí (1. je samozřejmě Saudská Arábie). Přeměna bitumenu na surovou ropu se provádí dvojím způsobem. Buď se vaří ve speciálních kotlích (teploty kolem 500 °C rozbíjejí obří molekuly dehtu), nebo se zahřívá na nižší teploty a čeří se vodíkem spolu s katalyzátorem. Výsledkem je surová ropa s nízkým obsahem Síry. Tento výrobní proces je velký žrout elektrické energie, uvažuje se proto o stavbě atomových elektráren poblíž zdrojů bitumenu.

Mezi velké spotřebitele ropy patří letecká doprava, a tak je nabíledni, že se i zde objevují snahy o nalezení alternativních paliv - syntetická paliva. Různé technologie výroby paliv jsou známy poměrně dlouho. Jedná se o výrobu ropy syntézou z jednodušších uhlovodíků, které se vyskytují v přírodě v podobě uhlí, zemního plynu, živičných břidlic, přírodního asfaltu, či zemního vosku. Ve srovnání s klasickou rafinací jsou však mnohem dražší. Zdá se, že nyní nastala doba, kdy se
tyto technologie vyplatí.

USA zahájily projekt Assured fuel initiative, podle kterého by jejich ozbrojené síly pokrývaly svoji spotřebu paliv pouze z uhlovodíků, které se nachází na vlastním území. Na území USA se totiž nachází největší zásoby uhlí na světě (30 % všech zásob). Uhlí (či zemní plyn) se dá přeměnit na ropu pomocí Fischer-Tropschovy syntézy, která byla objevena v Německu ve dvacátých letech minulého století. Ve dvacátém století ji využívaly státy, které byly izolovány a neměly tak přístup ke klasické ropě, kromě Německa se jednalo o Japonsko a JAR.

Ukázkou realizace využití syntetických paliv je let bombardéru B-52H z 19. 9. 2006. Šest z jeho osmi motorů spalovalo běžné letecké palivo, kdežto zbývající dva byly poháněny syntetickým palivem, které bylo získáno Fischer-Tropschovou syntézou ze zemního plynu.

Video - ropný vrchol



Zdroje

- ATM 2006/11, National Geographic 2004/06
- Ropný vrchol - wikipédie ;
- Nekonvenční ropa - wikipédie ;
- Fisher-Tropschova syntéza ;