Krása Eulerova čísla 2

V minulém příspěvku jsem poukázal na krásné vyjádření Eulerova čísla pomocí limity či nekonečného součtu. Eulerovo číslo  se vyskytuje poměrně často v mnoha oborech. V tomto článku poukáži na podle mého názoru dva nejzajímavější příklady.

Troufám si tvrdit, že řada lidí by nehledala Eulerovo číslo ve finančnictví, ale ono tam je - ve složeném úročení.

Řekněme, že si někdo dá 10 000 Kč na nějaký termínovaný vklad s roční úrokovou mírou 10% a ročním připisováním úroků na dobu 5 let. Pak na konci pětiletého období bude mít na účtu (pomineme-li pro zjednodušení zdanění úroků) 10 000× 1,1⁵ =16105,1 Kč. Matematicky lze složené úročení popsat jednoduchou rovnicí

kde FV je budoucí hodnota investovaných peněz, PV současná hodnota a i úroková míra. Vraťme se k našemu příkladu a uvažujme situace, kdy dochází k připisování úroků

1. čtvrtletně,
2. měsíčně,
3. denně,
4. nepřetržitě.

Použitím posledně uvedeného vzorce získáme následující výsledky

Poslední případ, kdy dochází k nepřetržitému přidávání úroku k jistině, se nazývá spojité úročení:

kde e je Eulerovo číslo, t počet let a i  úroková míra spjatá s každým přípisem úroku (tedy i je např. čtvrtina roční nominální úrokové míry). Všimněme si, že denní úročení se dosti podobá svým výsledkem spojitému úročení. Z příkladu plyne, že bychom si u různých finančních produktů, jako jsou např. spořící účty měli všímat četnosti připisování úroků, neboť s vyšší četností dosáhneme většího výdělku.

Číslo e se vyskytuje i v teorii pravděpodobnosti. Příklad: Uvažujme hráče u herního automatu, u kterého nastává výhra jednou za n her. A nechť tento hráč bude hrát právě n her. Potom pro velká n platí, že pravděpodobnost, že hráč nevyhraje ani jednu hru ze všech n her je rovna 1/e.

Tato úloha z teorie pravděpodobnosti je klasickým příkladem tzv. Bernoulliho procesu, kdy se mnohokrát (n-krát) opakuje situace, u které může nastat pouze jedna ze dvou možností, z nichž jednu chápeme jako výhru a druhou jako prohru. Uvažme například situaci, kdy n-krát házíme jednou mincí. Jako výhru v každém hodu chápejme situaci, kdy padne líc. A nechť pravděpodobnost výhry (padl líc) je rovna p. Potom pravděpodobnost, že vyhrajeme k-krát ze všech n-pokusů je rovna

Vraťme se k našemu příkladu; ze zadání plyne  n → ∞, k → 0. Nyní můžeme využít předcházejícího vzorce. Pravděpodobnost výhry v jednom hodu je p=1/n. Proto pravděpodobnost, že hráč nevyhraje ani jednu hru ze všech n her je rovna

Eulerovo číslo se vyskytuje i mnoha dalších mnohem složitějších matematických problémech, ale tyto dva pěkné příklady názorně ukazují, že matematické konstanty se mohou vyskytovat i v mnoha problémech běžného života.

Krása Eulerova čísla 1

Mezi nejdůležitější matematické konstanty patří e, která se někdy nazývá Eulerova či Napierova konstanta. Matematika sice neobsahuje tolik význačných konstant jako fyzika, ale její konstanty jsou často pilířem určité ucelené teorie - např. imaginární jednotka i pro terorii komplexních čísel, 0 a 1 pro aritmetiku, či Ludolfovo číslo π pro geometrii.

Konstanta e, jejíž přibližná hodnota je 2,718281828459045235360287471352, se často definuje jako takové jediné reálné číslo a s vlastností, že funkce a^x má hodnotu směrnice tečny v bodě 0 rovnu 1. První odkazy na tuto konstantu se objevují v roce 1618 v práci o logaritmických funkcích Johna Napiera. V této práci byla příloha, která obsahovala tabulku různých konstant a   funkčních hodnot přirozených logaritmů. Ale samotný "objev" této konstanty se přisuzuje Jacobu Bernoullimu, který se zabýval výpočtem limity

neboť jak se ukázalo, tato limita se rovná právě Napierově konstantě. Éčko se pro tuto konstantu používá od roku 1736, kdy Leonhard Euler publikoval svoji práci Mechanica.

Podívejme se nyní na důkaz, že výše uvedená limita existuje a  je rovna e. V důkazu využijeme známé nerovnosti mezi geometrickým a aritmetickým průměrem:

Dokažme nejprve, že posloupnost {1+1/n}ⁿ (n=1,...,∞) je rostoucí¹:

Dále dokážeme, že posloupnost {1+1/n}ⁿ je shora omezená.

Ještě lze dokázat, že poslední suma je menší nebo rovna 3. Nyní již víme, že naše zkoumaná posloupnost má limitu e a pro tuto limitu platí, že je menší nebo rovna výše uvedené sumě. Pokud dokážeme, že platí i obrácená nerovnost, pak získáme vztah pro numerický výpočet Eulerovy konstanty.

Zvolme m,n ∈ N, m ≤ n a rozepišme podobně jako výše výraz

a nyní limitním přechodem pro n → ∞ dostaneme pro každé m ∈ N

Provedeme-li další limitní přechod m → ∞ dostaneme

Celkem tedy platí

a snadno si můžeme pomocí součtu několika prvních členů výše uvedené nekonečné řady ověřit, že e=2,718281.....

Eulerova konstanta má spoustu zajímavých vlastností a aplikací, o tom ale příště.

Poznámky

1. to platí tehdy, když pro všechny členy posloupnosti platí, že následující člen je větší než předcházející člen.

Ztráta ponorky Scorpion

Rok 1968 byl významný v negativním slova smyslu nejen pro Československo, ale i pro americké námořnictvo, které tehdy ztratilo již svoji druhou jadernou ponorku v mimo-válečné době, SSN-589 Scorpion.

Ponorka Scorpion patřící do třídy Skipjack byla v mnoha ohledech revoluční ponorkou. Především se vyznačovala novým tvarem trupu, který byl navržen pro dosažení co možná nejlepších podhladinových hydrodynamických vlastností. Ponorky této třídy tak dosahovaly větší rychlosti pod hladinou (30 uzlů) než nad ní (16 uzlů; 1 uzel= 1.852  km/h). Po přestavbě na jadernou ponorku třídy George Washington získala tato ponorka strategickou odstrašující funkci díky prakticky nelimitované délce pobytu pod hladinou a schopnosti nést  střely Polaris.

Paradoxně se nové technologie v konstrukci ponorek během padesátých let neprojevily na bezpečnosti. Ponorky dosahovaly tak velkých rychlostí a hloubek ponorů, že pokud kormidelník udělal jen malou chybičku, mohlo to způsobit pád ponorky do velké hloubky, kde zákonitě  tlak vodních mas způsobí katastrofu.

Domovským přístavem ponorky Scorpion byl Norfolk, odkud vyplouvala na mise speciálně určené na vývoj taktiky vhodné pro jaderné ponorky - vystřídaly se role lovící a pronásledované ponorky. Od roku 1966 byla ponorka určena pro speciální operace. V tomto roce se jí podařilo vstoupit do sovětských výsostných vod v Barentsově moři a natočit odpálení sovětské rakety přes periskop; posléze musela využít svoji rychlost k úniku před sovětskou flotilou.

Na začátku roku 1967 se ponorka Scorpion zúčastnila cvičení s šestou americkou flotilou. Během května ponorka sledovala aktivity sovětského námořnictva v okolí Azor a poté se měla vrátit do Norfolku, do kterého již nedorazila. Poslední kontakt s pozemní základnou byl v 21.5.1968, kdy zprávu od Scorpiona zachytila námořní komunikační stanice v Nea Makri (Řecko). O šest dní později začaly sílit úvahy o možné ztrátě ponorky a začalo pátrání.

Pátrání po ztracené ponorce začalo 5.6. Hledání po počátečních neúspěších převzal námořní expert na systém podmořských hydrofonů SOSUS John Craven spolu s týmem špičkových matematiků, kteří navrhli použít tzv. Bayesovskou teorii hledání (poprvé byla tato metoda použita v Lednu 1966, kdy došlo ke ztrátě vodíkových pum po srážce bombardéru B-52 s tankovacím letounem KC-135 ve Španělsku)

Tým se nejprve snažil odhadnout skutečnou příčinu potopení ponorky, proto vyslechl spoustu důstojníků, kteří měli spoustu zkušeností se službou na jaderných ponorkách. Takto byl zkonstruován statistický systém hypotéz místa a příčiny ztroskotání ponorky. Poté na základě známých údajů o místech, kterými Scorpion prokazatelně proplula byla určena základní oblast, kde mohlo dojít k potopení.

Tato oblast byla posléze rozdělena na síť čtverců. Každý čtverec měl přiřazenou pravděpodobnost, že se vrak ponorky nachází právě v něm, na základě statistických vlastností systému hypotéz. Potom se na základě prvních výsledků hledání v nějakém čtverci začala konstruovat nová síť čtverců s pravděpodobnostmi výskytu, kde se navíc brala v potaz hloubka.  Kombinací těchto metod se určila finální oblast s největší pravděpodobností výskytu vraku a zde se začalo s důkladným prohledáváním.

Použité metody vedly úspěšně k cíly a již v Říjnu průzkumná ponorka USNS Mizar nalezla trup ponorky Scorpion ve více než tříkilometrové hloubce 740 km jihozápadně od Azor. Naštěstí jaderný reaktor zůstal neporušen a nedošlo k zamoření podmořského ekosystému radioaktivními izotopy.

Ještě týž rok začalo soudní vyšetřování příčiny potopení ponorky, při které zahynulo 99 námořníků, bohužel bezvýsledně. Spekulovalo se o explozi torpédo uvnitř ponorky, či o kolizi s jiným tělesem. Jisté je jen to, že se ponorka dostalo do hloubky, ve které ji tlak vodní masy rozdrtil trup. Ale skutečná příčina poklesu ponorky do smrtící hloubky je stále neznámá.



Zdroje a další informace
en.wikipedia.org (1, 2), valka.cz

Sopky a jejich vliv na klima

Mezi déletrvající kauzy, které přitahují pozornost médií jistě patří tzv. globální oteplování, či klimatické změny, chcete-li. Nejčastěji popisovaným viníkem je lidmi produkovaný oxid uhličitý.

Ano, lidská činnost ho skutečně vytváří v nemalém množství a skutečně má vliv na klima, ale je jeho vliv skutečně tak velký, když jeho současné zastoupení v atmosféře je kolem 385 ppm (0,0385%)?

Media vůbec neinformují o ostatních skleníkových plynech, jako např. N₂0, methan, ozón, či vodní pára. Právě vodní pára je vůbec nejúčinnější skleníkový plyn, který má spoustu přirozených zdrojů...

Mezi velmi důležitý faktor ovlivňující zemské klima patří sopečná činnost. Při sopečných erupcích se do atmosféry dostává obrovské množství sopečného popílku, prachu, oxidů uhlíku, síry a dalších plynu. Sopky ovlivňují klima mnoho způsoby, některé mají ochlazovací (saze, popílek) , jiné naopak otepovací efekt (metan, CO₂).

Mezi největší sopečné výbuchy ve dvacátém století patří výbuchy sopek Svatá Helena (1980) a Pinatubo (1991). Oba tyto výbuchy měli vliv na klima.

Při výbuchu Svaté Heleny (1980) přišel vulkán celkem o 2,8 miliardy m3 materiálu.Za jediný den sopka do atmosféry vychrlila 520 miliónů tun popílku, což znamená, že erupce do atmosféry uvolnila mnohonásobně větší množství skleníkových plynů než vyprodukovalo lidstvo svojí činností za celou dobu své existence!

Ani sopka Pinatubo se nenechala zahanbit a v 14.6.1991, kdy došlo k největší erupci a popílek se dostal až do výše 21 km. Uvolnilo se 10 kubických kilometrů popílku, který se v oblasti rovníku roztáhl kolem celé Zeměkoule.

Nové výzkumy potvrdily vliv sopečného popílku a aerosolů na vznik oblačnosti, která odráží zpět sluneční záření. Objevily ale i zatím neznámý vliv látek ze sopečných erupcí na mokřadní ekosystémy. V období, kdy nejsou časté sopečné erupce, v mokřadních ekosystémech převažují bakterie produkující metan.

Po velkých sopečných erupcích může docházet k tomu, že sopečný popílek obsahující síru naruší rovnováhu bakteriálních společenstev ve prospěch bakterií, které konzumují sulfáty a sníží se tak velikost populace bakterií produkující metan, což vede k ochlazovacímu efektu. Tento vliv sopečných erupcí byl prokázán na základě výzkumu erupce islandské sopky Laki (1783), které takto ovlivnily mokřady ve Skandinávii a na Sibiři.

Sopečná činnost nemusela mít vždy jen fatální následky. Někteří vědci (Paul Hoffman, Sturgis Hooper) přisuzují sopečné činnosti roli jakéhosi záchrance klimatu. Tito vědci přišli s velmi zajímavou (ale i pro některé další vědce kontroverzní) domněnkou o tom, že v minulosti Země se vyskytla alespoň jedna epizoda globálního zalednění vinou sníženého obsahu CO₂ v zemské atmosféře a následného poklesu skleníkového efektu.

Taková epizoda se měla údajně odehrát již před 2,35 miliardy let a pak ještě mnohokrát až do pozdního prekambria před 590 miliony lety. Oceány tak zamrzly až do hloubky 1 km a ze Země se stala doslova sněhová koule s nepochybně ničivými následky pro život; všechno s výjimkou baktérií nutně vyhynulo.

Až po skončení poslední epizody nastal přibližně před 565 miliony let známý bouřlivý rozvoj života v kambriu. Země se však z toho pokaždé vzpamatovala zásluhou dodávky oxidu uhličitého při zvýšené vulkanické činnosti.

Rozmístění aktivních sopek

Zdroje a další informace
spacedaily.com, cs. wikipedia.org (1,2,3), osel.cz.

Budoucí průzkum Měsíce

Na konci minulého roku oznámila řada vesmírných agentur z různých zemí, že se v blízké budoucnosti zaměří na intenzivní výzkum Měsíce. NASA by chtěla poslat kosmonauty na Měsíc do roku 2020. Otázkou je, zda-li se jí to podaří, když má pořád NASA stálé problémy s nedostatkem peněz.

Čína v minulosti mnohokrát prohlásila, že chce vypustit řadu sond na Měsíc, které by později následovaly přistávací moduly s lidskou posádkou. Tato prohlášení nenechala v klidu další rostoucí velmoc - Indii. Indie nemá sice taková velkohubá prohlášení, ale zato již má řadu misí pečlivě naplánovaných. Indický Měsíční program se v současnosti soustředí na misi Chandrayan.

Chandrayan
Jestli vše půjde podle plánu, nová indická sonda, která se skládá z orbiteru a z impaktoru, bude vynesena do vesmíru 19. Září tohoto roku indickou organizací ISRO. Hmotnost sondy o ceně 83 mil USD bude 1304 kg, z toho 90 kg připadne na celkem 11 přístrojů (5 indických a 6 zahraničních).

Mezi hlavní cíle patří pozorování povrchu Měsíce ve viditelné, infračervené a rentgenové části spektra elektromagnetického záření. Po dvou letech tohoto výzkumu začne sonda důkladně mapovat Měsíční povrch s cílem vytvořit kompletní 3D mapu Měsíčního povrchu včetně výskytu chemických prvků na povrchu.

Velkou prioritu budou mít především polární oblasti, kde se očekává, že na dně některých kráterů může být přítomen vodní led.

Některé přístroje pochází z cizích zemí. Americký NASA si platí přístroje M3 a miniSAR, které budou sloužit ke geologickému a radarovému průzkumu Měsíčního povrchu. Evropská ESA zkontruovala přístroje SARA a SIR-2, které se zaměří průzkum chemického složení povrchu. Jeden přístroj má na indické sondě dokonce i Bulharsko. Přístroj RADOM-7 bude zkoumat kosmické záření v blízkosti Měsíčního povrchu. Vědecké vybavení sondy - viz obr.

Sonda navíc nese i modul, který narazí do Měsíčního povrchu. Tento modul bude vybaven spektrometrem, radarem a optickou kamerou pro monitorování událostí během nárazu.

Lunar Reconnaissance Orbiter

Je první sondou nového amerického programu, který by měl vyvrcholit přistáním lidské posádky na Měsíci kolem roku 2020. Start je plánován na říjen 2008 a družici do kosmu vynese raketa Atlas V. Sonda bude obíhat kolem Měsíce po polární dráze nejméně jeden rok.

Hmotnost sondy se odhaduje na 1000 až 1200 kg, z čehož 500 až 600 kg mají tvořit pohonné látky. Mezi hlavní cíle této mise patří zejména

• - Globální topografie Měsíce
• - Charakteristika vesmírné radiace na orbitě Měsíce
• - Komplexní průzkum polárních oblastí včetně možných zásob vodního ledu a doby osvětlení
• - Mapování při vysokém rozlišení (max 0,5 m), které pomůže v budoucnu vybrat místa pro pilotované přistání

Ke splnění těchto cílů bude sonda vybavena velkým množstvím přístrojů, mezi které patří např. laserový výškoměr LOLA, průzkumná kamera LROC, neutronový detektor LEND, radiometr DLRE, spektrální detektor LAMP a teleskop pro výzkum kosmického záření CRaTER. Přístrojové vybavení sondy:

Jak je vidět obě sondy ponesou přistroje pro studii kosmického záření, neboť kosmické záření, což jsou vlastně vysokoenergetické částice (neutrony, protony alpha částice), představuje velké potenciální nebezpečí nejen pro nezabezpečené přístroje, ale i pro lidskou posádku.

Chemický průzkum Měsíce je rovněž velmi důležitý, neboť nabízí naději na vyřešení energetické otázky lidské civilizace. Výzkum jaderné fúze totiž probíhá již docela dlouho a zatím nepřinesl žádný zásadní posun vpřed. Současné výzkumy jsou zaměřeny na slučování deuteria a tritia v tokamacích za vzniku neuvěřitelně energetických volných neutronů.

Teoretičtí fyzikové navrhují využít pro slučování izotop Helia He3, přičemž by nevznikalo tak velké množství vysokoenergetických neutronů. Ovšem i tato cesta by obsahoval velké množství problémů...

Zdroje a další informace
en.wikipedia.org, cs.wikipedia.org, kosmo.cz, ihned.cz.

Křižníky Ticonderoga - základ námořní protiraketové obrany

Mezi největší moderní válečné lodi patří křižníky. Jelikož mohou nést spoustu děl, raket a torpéd, mohou se sami zapojovat do válečných operací. Daní za to je ovšem vysoká pořizovací cena. Křižníky jsou natolik drahé, že si je mohou dovolit provozovat pouze 3 státy: USA, Itálie a Rusko (Peru sice provozuje jeden křižník, ale ten koupilo od Holanďanů, kteří ho postavili krátce po druhé světové válce).

Podíváme-li se na charakteristiky ruských a amerických křižníků, zjistíme rozdíl v určení tohoto typu lodí. Sovětské námořnictvo se nejvíce obávalo amerických letadlových lodí, proto sovětské křižníky (třídy Kirov (nyní Ušakov ,viz obrázek) a Slava) byly vyzbrojeny obřími protilodními střelami s dlouhým doletem. Křižníky třídy Kirov jsou obří lodě¹ o výtlaku 24690 t, dokážou tak nést 20 protilodních střel P-500 Granit s doletem 500 km. Tyto lodě jsou ovšem produkty Studené války a v dnešní situaci je pro Rusko jejich provoz značně finančně náročný, v současnosti jsou proto v aktivní službě pouze dvě lodi Admirál Nachimov a Pjotr Velikij.

Americké námořnictvo se zase nejvíce obávalo mohutného útoku ruských střel vypuštěných z bombardérů, lodí či ponorek. Jako nejlepší odpověď na tuto hrozbu se ukázalo zkonstruovat velké množství lodí s elektronickým bojovým systémem a velkým množstvím raket.

Současné americké křižníky jsou reprezentovány třídou Ticonderoga. Lodi této třídy dosahují plného výtlaku kolem 9600 tun, což sice není o mnoho více než u současných amerických torpédoborců, ale díky velkému množství nesených zbraní si toto označení zaslouží, jsou totiž vyzbrojeny 122 univerzálními vertikálními vypouštěcími zařízeními. Kromě protiletadlových řízených střel² z nich mohou odpalovat také protizemní a protilodní střely s plochou dráhou letu a raketová torpéda. Pro efektivní boj proti ponorkám jsou tyto lodě vybaveny dvěmi helikoptéry SH-60 Seahawk.

Protivzdušná obrana těchto křižníků je založena na systému AEGIS. Jde o velmi složitý systém využívající trojdimenzionální radar (3D) s plošně sfázovanou anténou AN/SPY–1. Jedná se o přehledový, vyhledávací a střelecký radar, který je určen k řízení obrany bojového seskupení lodí před napadením ze vzduchu (letadla, helikoptéry, protilodní řízené střely) a z moře (ponorky, nepřátelská válečná plavidla). Ale je schopen i napadat balistické řízené střely. K tomuto účelu disponuje řízenými střelami Standard SM-2ER (RIM–156B) a také střelou SM-3 (RIM–161A), která je v současnosti vývoji.

Střely RIM-161A budou mít dálkový a výškový dosah 500, resp. 160 km. Každá střela SM-3 bude stát více než 3 milióny dolarů. Ponese lehký kompaktní prostředek LEAP (Lightweight Exo-Atmospheric Projectile), který zničí rakety vlastní kinetickou energií v prostoru nad atmosférou; k tomu je LEAP vybaven infračerveným senzorem, výkonou počítačovou jednotkou, GPS/INS naváděcí jednotku a kinetickou bojovou hlavici.

Vysoká kvalita protiraketového systému AEGIS byla potvrzena 21. Února 2008, kdy křižník USS Lake Erie vypustil upravenou střelu SM-3, která úspěšně zničila neovladatelný satelit USA 193, který by mohl způsobit při pádu do obydlené oblasti značné škody.

Zničení satelitu USA 193





Poznámky

1. Někdy se též označují jako bitevní křižníky. Zpět nahoru.
2. Zahrnuje rakety typů RIM-66 Standard Missile 2, RIM-162 ESSM, RIM-161 Standard Missile 3 (součást protiraketové obrany). Protizemní střely jsou zastoupeny typem BGM-109 a protilodní typem RGM-84 Harpoon. Zpět nahoru.